Rozwiąż równanie

[Griks]

zad. 1. Rozwiąż równanie:
\(3^{sinx} * (\sqrt{3})^{sinx} * (\sqrt[4]{3})^{sinx} * (\sqrt[8]{3})^{sinx} * ... = 3\) w przedziale \(\left\langle 0, 2\pi \right\rangle\)

zad. 2. Dla jakich wartości parametru \(m \in \rr\) równanie \((m-3)4^{|x|} -2m + 1 = 0\) ma dwa różne rozwiązania?

[patryk00714]

1. Równanie to jest równoważne:

\(3^{\sin x} \cdot 3^{\frac{1}{2}\sin x} \cdot 3^{\frac{1}{4}\sin x} \cdot \ldots =3\)

\(3^{\sin x \left( 1+\frac{1}{2}+ \frac{1}{4} +\ldots \right)}=3^{\sin x \frac{1}{1-\frac{1}{2}}}=3^{2\sin x} = 3\)
zatem

\(2\sin x =1 \rightarrow \sin x =\frac{1}{2}\), dalej już łatwo

[pytajnik++]

2.
\((m-3)4^{|x|} -2m + 1 = 0\)
\(4^{|x|}= \frac{2m-1}{m-3}, \space m \neq 3\)

wiec teraz rysujemy wykres funkcji \(y= 4^{|x|}\):

1.png (14.62 KiB) Przejrzano 946 razy

widac teraz, ze rownanie ma dwa rozne rozwiazania dla takich \(m\), ze \(\frac{2m-1}{m-3}\) jest wieksze od \(1\), czyli:

\(\frac{2m-1}{m-3} >1\)
\(\frac{2m-1-m+3}{m-3} >0\)
\(\frac{m+2}{m-3} >0\)

\(m \in (- \infty ; -2) \cup (3; + \infty )\)