badanie okresowości funkcji trygonometrycznych

[Mi82]

Jak zabrać się za takie zadanie :\(\)

Czy podane funkcje są okresowe, jeśli tak to wyznaczyć ich okresy podstawowe:
a)\(f(x)=3cos(x+ \frac{ \pi }{2})\)
b)\(f(x)=tg \frac{x}{\pi}\)
c)\(f(x)=sinx+cosx\)
d)\(f(x)=sin^2x\)

[pytajnik++]

a)
Okresem podstawowym funkcji \(\cos x\) jest liczba \(2π\) . Szukamy zatem takiego \(T\) , że:
\(x+T+ \frac{ \pi }{2}-x- \frac{ \pi }{2}=2 \pi\)
\(T=2 \pi\)

[pytajnik++]

b)
Okresem podstawowym funkcji \(\tg x\) jest liczba \(\pi\). Szukamy takiego \(T\), ze:
\(\frac{x+T}{ \pi }- \frac{x}{ \pi }= \pi / \cdot \pi\)
\(x+T-x= {\pi}^2\)
\(T= {\pi}^2\)

[pytajnik++]

c)
\(\sqrt{2}( \frac{ \sqrt{2} }{2} \sin x+ \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos x)\)
\(\sqrt{2}( \sin x \cos { \frac{ \pi }{4}}+ \cos x \sin {\frac{ \pi }{4}})\)
\(\sqrt{2} \sin {(x+ \frac{ \pi }{4})}\)

Okresem podstawowym funkcji \(\sin x\) jest liczba \(2π\) . Szukamy zatem takiego \(T\) , ze:
\(x+T+ \frac{ \pi }{4}-x- \frac{ \pi }{4}=2 \pi\)
\(T=2 \pi\)

[pytajnik++]

d)
tutaj chyba najprosciej jest narysowac wykres funkcji \(\sin^2 x\) i zaobserwowac, ze dla ujemnych wartosci funkcji \(\sin x\) funkcja \(\sin^2x\) osiaga te same wartosci dodatnie(czyli to co jest pod osia \(OX\) odbija sie symetrycznie nad te os) wiec okresem podstawowym bedzie \(\pi\).

[Mi82]

c)
\(\sqrt{2}( \frac{ \sqrt{2} }{2} \sin x+ \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos x)\)
\(\sqrt{2}( \sin x \cos { \frac{ \pi }{4}}+ \cos x \sin {\frac{ \pi }{4}})\)
\(\sqrt{2} \sin {(x+ \frac{ \pi }{4})}\)

Okresem podstawowym funkcji \(\sin x\) jest liczba \(2π\) . Szukamy zatem takiego \(T\) , ze:
\(x+T+ \frac{ \pi }{4}-x- \frac{ \pi }{4}=2 \pi\)
\(T=2 \pi\)

Wszystkie rozwiązania poza przykładem c) są dla mnie jasne. Wielkie dzięki !
Chciałam jeszcze dopytać, skąd wzięły się w tym przykładzie liczby: \(\sqrt{2}\) oraz \(\frac{ \sqrt{2} }{2} \ ?\)

[pytajnik++]

to taka "niby" jedynka, sprobuj wymnozyc pierwszy nawias to sie przekonasz . Jest ona tylko po to zeby mozna bylo zastosowac wzor na sume argumentow sinusa .

[Mi82]

W życiu bym na to nie wpadła sama ale rzeczywiście po wymnożeniu wszystko gra.
Pierwszą linijkę już kumam ale nie wiem co się stało w drugiej oraz w trzeciej.
Wyliczenie okresu podstawowego jest jasne tylko nie wiem skąd te przekształcenia (druga i trzecia linijka).
Chyba nie znam tego wzoru.

[pytajnik++]

Istnieje taki wzor na sume argumentow sinusa:
\(\sin(x+y)= \sin x \cos x+ \cos x \sin x\)

Mozna go udowodnic posulgujac sie rachunkiem wektorowym, jednak zwykle w szkole przyjmuje sie ten wzor bez dowodu.
Natomiast jezeli chodzi o \(\sqrt{2}\) to sprawdz jaki kat musza miec sinus i cosinus aby ich wartosci byly rowne \(\frac{ \sqrt{2} }{2}\)

[Mi82]

Teraz rozumiem. Wzór na sumę argumentów sinusa to po prostu wzór na f. trygonom. sumy kątów x i y które aby były takie same muszą mieć 45 stopni
Bardzo dziękuję !
Dobrej nocy .