Równanie płaszczyzny przechodzącej przez 3 punkty

[piotrekq94]

Jak napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty \(A(-1, 5, 3), B(1, 3, 1), C(0, 1, 5)\)?

[radagast]

\(\vec{AB} = \left[ 2,-2,-2\right]\)
\(\vec{AC} = \left[ 1,-4,2\right]\)
\(\vec{AB} \times \vec{AC} = \left[-12,-6,-6\right] \parallel \left[2,1,1 \right]\)
no to płaszczyzna ma równanie : \(2x+y+z+D=0\)
a ponieważ przechodzi przez punkt \(C= \left(0,1,5 \right)\) to \(1+5+D=0\) czyli D=-6
ostatecznie więc płaszczyzna ma równanie : \(2x+y+z-6=0\)

[piotrekq94]

\(\vec{AB} = \left[ 2,-2,-2\right]\)
\(\vec{AC} = \left[ 1,-4,2\right]\)
\(\)

Jak to zostało pomnożone, że wyszyły takie wyniki?

[radagast]

Istnieją różne sztuczki na policzenie iloczynu wektorowego . Nie mówili na zajęciach ?
Jeśli nie, to tu masz:

ScreenHunter_603.jpg (10.42 KiB) Przejrzano 9209 razy

[piotrekq94]

\(\vec{AB} = \left[ 2,-2,-2\right]\)


\(\vec{AB} = (5 \cdot 1 - 3 \cdot 3) - (-1 \cdot 1 - 3 \cdot 1) + (-1 \cdot 3 - 5 \cdot 1)\)

Po obliczeniach wychodzi całkiem inny wynik niż Twój.

I skąd wzięły się liczby \([2, 1, 1]\)?

[dadam]

Współrzędne wektora AB liczysz odejmując od współrzędnych punktu B (końca) współrzędne punktu A (początek)

[dadam]

\(\vec{AB}=[1-(-1),3-5,1-3]=[2,-2,-2]\)

Podobnie liczysz \(\vec{AC}=[0-(-1), 1-5, 5-3]=[1, -4, 2]\)

[dadam]

Teraz dopiero liczysz iloczyn wektorowy: \(\vec{AB} \times \vec{AC}=[-2 \cdot 2-(-2) \cdot (-4) , -2 \cdot 1-2 \cdot 2, 2 \cdot (-4)-(-2) \cdot 1]=[-12,-6,-6]\)

[piotrekq94]

Właśnie o to mi chodziło. Wielkie dzięki.

A skąd wzięły się liczby \([2, 1, 1]\)?

[dadam]

\([-12-6,-6]=-6 \cdot [2,1,1]\)

Wektor [-12,-6,-6] to wektor prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory AB i AC. Wektor [2,1,1] jest również jest prostopadły (mnożenie przez skalar tego nie zmienia)

[dadam]

Mógłbyś wziąć spokojnie współrzędne [-12,-6,-6]

czyli : \(-12x-6y-6z+D=0\) podstawić współrzędne punktu C=(0,1,5):

\(-12 \cdot 0-6 \cdot 1-6 \cdot 5+D=0\)

\(D=36\)

czyli masz równanie : \(-12x-6y-6z+36=0\) i teraz podziel obie strony równania przez (-6):

\(2x+y+z-6=0\) ( czyli to samo)


Czasem można sobie uprościć rachunki "skracając " współrzędne wektora wcześniej