okrąg wpisany w czworokąt

[mela1015]

W trapez ABCD wpisano okrąg. Ramię BC trapezu zostało podzielone przez punkt S na odcinki |CS|=1cm oraz |BS|=9cm. Obliczymy długość promienia okręgu, stosując metodę:


Prowadzimy promień OS, OS (jest prostopadły do)BC. Trójkąt COB jest prostokątny, bo
\(|\angle OCB|+ |\angle CBO|= \frac{1}{2} |\angle DCB|+ \frac{1}{2} |\angle ABC|= \frac{1}{2} *180=90\) Promień OS jest wysokością w trójkącie prostokątnym OBC poprowadzoną z wierzchołka kąta prostego.

Na mocy twierdzenia o wysokości w trójkącie prostokątnym poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego otrzymujemy:
|OS|2=|CS|*|BS|
|OS|2=1*9
|OS|=3(cm) (bo|OS|>0)
Promień okrę gu wpisanego w dany trapez ma długość 3cm.


Postępując podobnie, rozwiąż zadanie:
W trapez ABCD wpisano okrąg. Punkty E i F są punktami styczności odpowiednio z podstawą AB i z podstawą DC. Wiedząc, że |DF|=5cm i |AE|=20cm, oblicz długość promienia tego okręgu.

[pytajnik++]

2.png (16.92 KiB) Przejrzano 11307 razy

\(|AE|=20cm, \space |DF|=5cm\)

Oznaczmy \(K\) jako punkt stycznosci z bokiem \(AD\) oraz \(|OE|=|OF|=|OK|=r\) jako promien okregu wpisanego(oczywiscie \(OE \perp AB, \space OF \perp DC, \space OK \perp AD\) z racji tego, ze sa to promienie prowadzone do punktu stycznosci).

Poniewaz mamy do czynienia z okregiem wpisanym w czworokat zatem srodek takiego okregu to punkt przeciecia dwusiecznych jego katow, czyli:
\(\angle OAE= \angle OAD= \alpha\)
\(\angle ODF= \angle ODA= \beta\)

Wiadomo, ze suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu dowolnego trapezu jest równa 180°, to:
\(2 \alpha +2 \beta =180^o/:2\)
\(\alpha + \beta =90^o\)

czyli \(|\angle AOD|=180^o-( \alpha + \beta )=180^o-90^o=90^o\)
wiec \(\Delta AOD\) jest prostokatny i \(|\angle AOD|=90^o\)

z tw. Pitagoroasa w \(\Delta AEO\):
\(|AO|= \sqrt{|AE|^2+|OE|^2}= \sqrt{400 +r^2}\)
z tw. Pitagorasa w \(\Delta DFO\):
\(|DO|= \sqrt{|DF|^2+|OF|^2}= \sqrt{25+r^2}\)

z tw. Pitagorasa w \(\Delta AOK\):
\(|AK|= \sqrt{|AO|^2-|OK|^2}= \sqrt{400 +r^2-r^2}= \sqrt{400}=20\)
z tw. Pitagorasa w \(\Delta DOK\):
\(|DK|= \sqrt{|DO|^2-|OK|^2}= \sqrt{25+r^2-r^2}= \sqrt{25}=5\)

i teraz korzystamy z faktu, ze w trójkącie prostokątnym iloczyn długości, na jakie została podzielona przeciwprostokątna przez wysokość poprowadzoną z kąta prostego, jest równy kwadratowi tej wysokości:
\(|OK|^2=|AK| \cdot |DK|\)
\(r^2=20 \cdot 5\)
\(r=10\) (bo \(|OK|=r\) jest wysokoscia czyli jest dodatnie)

lub jesli nie chcemy wykorzystywac takiego twierdzenia to promien tez obliczymy ze wzoru na pole trojkata(dla \(\Delta AOD\)):
\(\frac{1}{2} \cdot |AD| \cdot |OK|= \frac{1}{2} \cdot |DO| \cdot |AO|\)
\(\frac{1}{2} \cdot 25r= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(25+r^2)(400+r^2)} \space / \cdot 2\)
\(25r= \sqrt{(25+r^2)(400+r^2)} \space /^2, \space bo \space r>0\)
\(625r^2=10000+25r^2+400r^2+r^4\)
\(r^4-200r^2+10000=0\)
\((r^2-100)^2=0\)
\(r^2=100\)
czyli: \(r=10\), bo \(r>0\)

tak czy inaczej \(r=10cm\)

[ef39]

w zasadzie nie musimy liczyć długości odcinków AK i KD , ponieważ z twierdzenia o odcinkach
stycznych wynika , że |AK|=|AE|=20 oraz |DK|=|DF|=5