dwa zadania z prawdopodobieństwa

[dlama135]

1. Imię Franek ma w Polsce około 1,6% chłopców. W pewnej szkole uczy się 300 chłopców.
a) Wyznacz najbardziej prawdopodobną liczbę Franków w tej szkole.
b) Wyznacz prawdopodobieństwo, że liczba Franków w tej szkole jest nie większa niż 3.

2. Liczba 2,5 jest dzielona w sposób losowy na dwie nieujemne liczby rzeczywiste x i y np. na x=2,03 i y=0,47 lub na \(x=2,5- \sqrt{3}\) i \(y= \sqrt{3}\). Następnie każda z liczb jest zaokrąglana do najbliższej liczby całkowitej np. do 2 i 0 w pierwszym przykładzie oraz do 1 i 2 w drugim.
Oblicz:
a) prawdopodobieństwo, że suma tak otrzymanych zaokrągleń równa się 2
b)prawdopodobieństwo, że różnica tak otrzymanych zaokrągleń równa się 0


Proszę o pomoc !

[panb]

Zadanie 1.
Mamy tu do czynienia ze schematem Bernoulli'ego. Sukcesem jest Franek (p=0,016, q=1-p=0,984), a liczba prób n=300.

Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego
Jeśli (n + 1)p nie jest liczbą całkowitą, to najbardziej prawdopodobną liczbą sukcesów w schemacie n prób Bernoulliego, jest największa liczba całkowita mniejsza od (n + 1)p. Jeśli natomiast (n + 1)p jest liczbą całkowitą, to najbardziej prawdopodobne są dwie wartości: (n + 1)p - 1 oraz (n + 1)p.

a) staje się teraz banalne
b) Dla 300 prób rozkład Bernoulliego przybliżyłbym rozkładem normalnym N(np, npq).
\(np=300\cdot0,016=4,8, \,\,\, npq=300\cdot0,016\cdot0,984=4,7232\)
\(P(X\le3)=P \left( \frac{X-4,8}{4,7232}\le \frac{3-4,8}{4,7232} \right)=\Phi(-0,38)=1-\Phi(0,38)\approx0,35\)

Alternatywą jest obliczanie \(P(X\le3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3), \,\,\, gdzie\,\,\, P(X=k)={300\choose k} 0,016^k \cdot 0,984^{300-k}\) - ale to horror.

[dlama135]

Czy do zadania 2a) może być takie rozwiązanie?

\(\Omega ={(x,y) \in \rr ^2: x,y \in (0;2,5)}\)
\(| \Omega| =6,25\)
\(A={(x,y) \in \Omega : (x>2 \wedge y<0,5) \vee (x<1,5 \wedge y>1) \vee (y>2 \wedge x<0,5) \vee (y<1,5 \wedge x>1)}\)
\(|A|= 4,25\)
\(P(A)= \frac{4,25}{6,25}\)

[panb]

Jasne, zwłaszcza jeśli te liczby to pola odpowiednich prostokątów.