5 ponumerowanych kul w 2 identycznych pudełkach

[gollum]

liczba sposobów jakimi można rozmieścić 5 ponumerowanych kul w 2 identycznych pudełkach, tak aby żadne pudełko nie pozostało puste jest równa?
jak to obliczyć można prosić krok po kroku bym mogła to zrozumieć?

[Galen]

Pierwsza kula ma do wyboru dwa pudełka
druga też dwa
trzecia też dwa
czwarta też dwa
piąta też ma do wyboru dwa pudełka
Razem jest \(2^5-2=30\)
Od wszystkich \(2^5=32\) możliwości rozmieszczania kul odejmuję sytuację
w której wszystkie wpadły do jednego pudełka (pierwszego lub drugiego).

[Panko]

Ale w treści jest : dwóch identycznych pudełkach.
Czy nie powinno być \(\\) \(\\) \(2^4 -1=15\) \(?\)

[Galen]

Fakt,te pudełka są identyczne
Dziękuję Ci Panko

To mamy możliwe rozmieszczenia:
1)
1 kula w jednym pudełku i 4 kule w drugim
Tu jest 5 możliwości wyboru tej jednej,reszta wpada do drugiego pudełka.
Rozmieszczenie 4 w jednym i 1 w drugim jest tożsame z poprzednią sytuacją,czyli
nie wnoszą nic nowego.
2)
2 kule w jednym i 3 w drugim
Tu jest \({5 \choose 2}= \frac{5!}{2!\cdot 3!}=10\) możliwości wyboru dwóch,reszta
wpada do drugiego pudełka.
Rozmieszczenie 3 w pierwszym i 2 w drugim jest tożsame,bo pudełka są identyczne.

Razem jest \(5+10=15\) sposobów rozmieszczenia .

[Galen]

Możesz też skorzystać z pierwszej propozycji rozwiązania,ale tam pudełka były rozróżnialne
dlatego wynik był:
\(2^5-2=30\)
Jeśli uznajemy,że pudełka nie są rozróżnialne,to poprzedni wynik trzeba podzielić przez 2.
Mamy poprawny wynik:
\(\frac{2^5-2}{2}=\frac{2^5}{2}-\frac{2}{2}=2^4-1=15\)