Trójkąt
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
xxmarcia17xx
- Często tu bywam
- Posty: 174
- Rejestracja: 29 lis 2009, 17:41
- Podziękowania: 1 raz
Trójkąt
W układzie współrzędnych dane są punkty A(1,2) i B(5,2).Wyznacz współrzędne punktu C,dla którego pole trójkąta ABC jest równe 2 i równocześnie I∡ACBI=90°.
Punkty A i B mają tę samą rzędną. Lezą więc oba na prostej y=2. |AB|=4. Żeby pole trójkąta ABC było równe 2, wysokość opuszczona na bok AB, czyli odległość punktu C od prostej AB musi być równa 1. Żeby kąt przy wierzchołku C był prosty, punkt C musi leżeć na okręgu o środku w środku odcinka AB i promieniu równym połowie długości AB.
Środek odcinka AB:
\(O=(\frac{15}{2};\ \frac{2+2}{2})=(3,\ 2)\)
r=2
Równanie tego okręgu:
\((x-3)^2+(y-2)^2=4\).
Punkt C musi być od prostej AB oddalony o 1, więc jego współrzędne to (c, 3) lub (c, 1).
\((c-3)^2+(3-2)^2=4\\(c-3)^2=3\\c-3=\sqrt{3}\ \vee \ c-3=-\sqrt{3}\\c=3+\sqrt{3}\ \vee \ c=3-\sqrt{3}\)
\((c-3)^2+(1-2)^2=4\\(c-3)^2=3\\c=3-\sqrt{3}\ \vee \ c=3+\sqrt{3}\)
Są 4 takie punkty:
\(C_1=(3-\sqrt{3};\ 3)\\C_2=(3+\sqrt{3};\ 3)\\C_4=(3-\sqrt{3};\ 1)\\C_4=(3+\sqrt{3};\ 1)\)
Środek odcinka AB:
\(O=(\frac{15}{2};\ \frac{2+2}{2})=(3,\ 2)\)
r=2
Równanie tego okręgu:
\((x-3)^2+(y-2)^2=4\).
Punkt C musi być od prostej AB oddalony o 1, więc jego współrzędne to (c, 3) lub (c, 1).
\((c-3)^2+(3-2)^2=4\\(c-3)^2=3\\c-3=\sqrt{3}\ \vee \ c-3=-\sqrt{3}\\c=3+\sqrt{3}\ \vee \ c=3-\sqrt{3}\)
\((c-3)^2+(1-2)^2=4\\(c-3)^2=3\\c=3-\sqrt{3}\ \vee \ c=3+\sqrt{3}\)
Są 4 takie punkty:
\(C_1=(3-\sqrt{3};\ 3)\\C_2=(3+\sqrt{3};\ 3)\\C_4=(3-\sqrt{3};\ 1)\\C_4=(3+\sqrt{3};\ 1)\)