Równanie plaszczyzny.

[Lukasz44]

Witam,
proszę o pomoc.


Na powierzchni z=xy znajdz punkt, w którym płaszczyzna styczna
do tej powierzchni jest prostopadła do prostej

x − y + 17 = 0
y + 2z − 19 = 0.

Napisz równanie tej płaszczyzny stycznej.

Wiem jak wyznaczyć wektor kierunkowy tej prostej, ale dalej nie wiem..
Nie mam punktu styku płaszczyzny z powierzchnią... żeby znaleźć równanie płaszczyzny

[panb]

No, bo ten punkt trzeba znaleźć!!

Na powierzchni z=xy znajdz punkt

[Lukasz44]

Czyli punkt przęcięcia tej prostej z tą powierzchnią, o ile jest ?

[panb]

Oznaczasz go \((x_0, y_0, x_0\cdot y_0)\) i liczysz...

[Lukasz44]

Szukany punkt : (-2,-2,4)

Szukana płaszczyzna : -2x-2y+z-48=0

Dobrze ?

[octahedron]

\(\begin{cases}x-y+17=0\\y+2z-19=0\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}x=y-17\\z=-\frac{1}{2}y+\frac{19}{2}\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}x=-2t-17\\y=-2t\\z=t+\frac{19}{2}\end{cases}\Rightarrow\ \vec{\tau}=[-2,-2,1]\\
f(x,y,z)=z-xy=0\\
\nabla f=[-y,-x,1]\ \Rightarrow\ x=y=2,\ z=4\\
\pi:\ -2(x-2)-2(y-2)+z-4=\boxed{-2x-2y+z+4=0}\)

[Lukasz44]

A pomyliłem się z minusem, wychodzi podobnie
Tylko trochę inaczej to zrobiłem , zbyt przekombinowałem.