Udowodnij nierówność

[Karkalalka]

Udowodnij, że dla dodatnich liczb a,b zachodzi nierówność:

a+b+ \(\frac{a+b}{ab} \ge 4\)

[patryk00714]

mnożąc obustronnie przez \(ab\) mamy

\(a^2b+ab^2+a+b \ge 4ab\)

\(a^2b+ab^2+a+b-4ab \ge 0\)

\(a^2b+b-2ab+ab^2+a-2ab \ge 0\)

\(b(a^2-2a+1)+a(b^2-2b+1)=b(a-1)^2+a(b-1)^2 \ge 0\)

c.n.p

[radagast]

Udowodnij, że dla dodatnich liczb a,b zachodzi nierówność:

a+b+ \(\frac{a+b}{ab} \ge 4\)

albo tak:
\(a+b+ \frac{a+b}{ab} \ge 4 \iff\)

\(a+b+ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} \ge 4 \iff\)

\(a+ \frac{1}{a}+b+ \frac{1}{b} \ge 4 \iff\)
tymczasem
dla dodatnich \(x\) , \(x+ \frac{1}{x} \ge 2\)
zatem mamy co trzeba