równanie trygonometryczne z parametrem

[mariposa]

Wyznacz wartości parametru a, dla których równanie \(\ (cosx- \frac{ \sqrt{2}}{2})(sinx-a)=0\)ma trzy różne rozwiązania w przedziale \(\ <0, 2 \pi >\)

[heja]

\(cosx- \frac{ \sqrt{2} }{2}=0 \vee sinx-a=0 dla x \in <0;2 \pi >\)
\(cosx= \frac{ \sqrt{2} }{2} \wedge x \in <0;2 \pi > \So x= \frac{ \pi }{4} \vee x= \frac{7}{4} \pi\)
czyli mamy już dwa rozwiązania
\(sinx=a \wedge x \in <0;2 \pi > \wedge ma mieć 1 rozw. \So a=1 \vee a=-1\)

[Galen]

\(cos x- \frac{ \sqrt{2} }{2}=0\;\;\;\;\;lub\;\;\;\;sin x-a=0\\cos x= \frac{ \sqrt{2} }{2}\\x=45^o\;\;\;lub\;\;\;x=315^o\)
Drugie równanie musi dorzucić tylko jedno rozwiązanie różne od tych powyżej.

Tak będzie dla \(a= \frac{ \sqrt{2} }{2}\) bo wtedy jest
\(sinx= \frac{ \sqrt{2} }{2}\\x=45^o\;\;\;\;lub\;\;\;x=135^o\)
Co daje trzy rozwiązania:
\(45^o;135^o;315^o\)

Podobnie jeśli a=1,to dojdzie jedno rozwiązanie \(x=90^o\)
To też daje trzy rozwiązania :
\(45^o;90^o;315^o\)

Jeszcze dla a=-1 jest \(sinx+1=0\\stąd\\sinx=-1\\x=270^o\) i razem z tymi które dał cos
mamy 3 rozwiązania.

Odp.
\(a\in \left\{-1; \frac{ \sqrt{2} }{2};1 \right\}\)

[heja]

Tak,Galen ma rację,trzeba jeszcze uwzględnić \(a= \frac{ \sqrt{2} }{2}\)