wielokrotność 3

[gremlin4]

Wykaż,że dla n (\(n \in C\)) liczba: \(n^3+3n^2-n-3\) jest wielokrotnością liczby 3.

[radagast]

Wykaż,że dla n (\(n \in C\)) liczba: \(n^3+3n^2-n-3\) jest wielokrotnością liczby 3.

\(n^3+3n^2-n-3=(n-1)(n+1)(n+3)\) to jest iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych albo iloczyn trzech kolejnych liczb nieparzystych. W obu przypadkach któryś czynnik musi dzielić się przez 3.
Uzasadnienie:
załóżmy , ze \(n-1\) daje przy dzieleniu przez \(3\) resztę \(1\) , wtedy \(n-1=3k+1\) czyli \(n+1=3k+3\) - dzieli się przez \(3\)
załóżmy , ze \(n-1\) daje przy dzieleniu przez \(3\) resztę \(2\) , wtedy \(n-1=3k+2\) czyli \(n+3=3k+6\) - dzieli się przez \(3\)
jeśli nie zachodzą dwa poprzednie przypadki to \(n-1\) dzieli się przez \(3\) (daje przy dzieleniu przez \(3\) resztę \(0\))