Graniastosłup prawidłowy sześciokątny o krawędzi podstawy a przecięto płaszczyzną zawierającą przekątne sąsiednich ścian bocznych wychodzące z tego samego wierzchołka. Pole otrzymanego przekroju jest równe S. Oblicz cosinus kąta, jaki płaszczyzna tworzy z podstawą oraz wyznacz objętość tego graniastosłupa.
http://www.fotosik.pl/pokaz_obrazek/62c ... 523fb.html
przekrój graniastosłupa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Oznaczam:
Z ---środek podstawy niebieskiego trójkąta,czyli środek FD.
\(ZE= \frac{a}{2}\\FD=2 \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2}=a \sqrt{3}\\EE_1=H\\ZE_1=h\)
H to wysokość graniastosłupa
h to wysokość przekroju,czyli trójkąta FDE1
Dane:krawędź a i pole przekroju S.
Szukane:\(cos\alpha\) ,gdzie alfa jest kątem przekroju i płaszczyzny podstawy.
\(P_{FDE_1}=S= \frac{1}{2} \cdot FD \cdot h= \frac{1}{2} \cdot a \sqrt{3} \cdot h\\a \sqrt{3} h=2S\\h= \frac{2S}{a \sqrt{3} }\\cos\alpha= \frac{ ZE }{ZE_1}\\cos\alpha= \frac{ \frac{a}{2} }{h}= \frac{ \frac{a}{2} }{ \frac{2S}{a \sqrt{3} } }= \frac{a^2 \sqrt{3} }{2S}\)
Do obliczenia V musisz mieć H
\(H^2+ZE^2=h^2\\H^2=h^2-(\frac{a}{2})^2\\H^2= \frac{4S^2}{3a^2}- \frac{a^2}{4}= \frac{16S^2-3a^4}{12a^2}\\H= \frac{ \sqrt{16S^2-3a^2} }{2a \sqrt{3} }\)
\(V= \frac{1}{3} \cdot \frac{6a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot \frac{\sqrt{16S^2-3a^2}}{2a \sqrt{3} }\)
\(V= \frac{a \sqrt{16S^2-3a^2} }{4}\)
Z ---środek podstawy niebieskiego trójkąta,czyli środek FD.
\(ZE= \frac{a}{2}\\FD=2 \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2}=a \sqrt{3}\\EE_1=H\\ZE_1=h\)
H to wysokość graniastosłupa
h to wysokość przekroju,czyli trójkąta FDE1
Dane:krawędź a i pole przekroju S.
Szukane:\(cos\alpha\) ,gdzie alfa jest kątem przekroju i płaszczyzny podstawy.
\(P_{FDE_1}=S= \frac{1}{2} \cdot FD \cdot h= \frac{1}{2} \cdot a \sqrt{3} \cdot h\\a \sqrt{3} h=2S\\h= \frac{2S}{a \sqrt{3} }\\cos\alpha= \frac{ ZE }{ZE_1}\\cos\alpha= \frac{ \frac{a}{2} }{h}= \frac{ \frac{a}{2} }{ \frac{2S}{a \sqrt{3} } }= \frac{a^2 \sqrt{3} }{2S}\)
Do obliczenia V musisz mieć H
\(H^2+ZE^2=h^2\\H^2=h^2-(\frac{a}{2})^2\\H^2= \frac{4S^2}{3a^2}- \frac{a^2}{4}= \frac{16S^2-3a^4}{12a^2}\\H= \frac{ \sqrt{16S^2-3a^2} }{2a \sqrt{3} }\)
\(V= \frac{1}{3} \cdot \frac{6a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot \frac{\sqrt{16S^2-3a^2}}{2a \sqrt{3} }\)
\(V= \frac{a \sqrt{16S^2-3a^2} }{4}\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
Re: przekrój graniastosłupa
@Galen
Proszę popraw, jeśli się mylę.
\(\cos{x} = \frac{\frac{a}{2} }{h}= \frac{\frac{a}{2}}{ \frac{2S}{a \sqrt{3}}}=\frac{a^2 \sqrt{3} }{4S}\)
Objętość graniastosłupa to \(Pp \cdot H\) więc
V=\(\frac{6a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac {\sqrt{16S^2-3a^4}}{2a^2}\)
V=\(\frac{ 3 \sqrt{16S^2-3a^4} }{4}\)
Proszę popraw, jeśli się mylę.
\(\cos{x} = \frac{\frac{a}{2} }{h}= \frac{\frac{a}{2}}{ \frac{2S}{a \sqrt{3}}}=\frac{a^2 \sqrt{3} }{4S}\)
Objętość graniastosłupa to \(Pp \cdot H\) więc
V=\(\frac{6a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac {\sqrt{16S^2-3a^4}}{2a^2}\)
V=\(\frac{ 3 \sqrt{16S^2-3a^4} }{4}\)