Zbieżność całki niewłaściwej w zależności od parametrów

[Magda6686]

Oto przykład ,którego nie potrafię zrobić.
Zbadaj zbieżnosć całki niewłaściwej w zaleźności od prametrów p,q \(\in \rr\):
\(\int\limits_{0}^{+ \infty } \frac{dx}{x^{p}+x^{q}}\)

Rozpisuje to z definicji i nie wiem np. na co zwrócić uwagę, które punkty są istotne itp, dobrze by było też abym znała odpowiedź.

[Crazy Driver]

Dla ustalenia uwagi niech \(p\ge q\).

Przypadek 1. \(p,q\ge1\).

Wówczas \(\int\limits_0^1\frac{dx}{x^p+x^q}\ge\int\limits_0^1\frac{dx}{x^q+x^q}=\frac12\int\limits_0^1\frac{dx}{x^q}\)
Z rozbieżności ostatniej całki wynika rozbieżność całki \(\int\limits_0^1\frac{dx}{x^p+x^q}\), a z niej rozbieżność całki \(\int\limits_0^{+\infty}\frac{dx}{x^p+x^q}\).



Przypadek 2. \(q<1\le p\).

\(\int\limits_0^1\frac{dx}{x^p+x^q}<\int\limits_0^1\frac{dx}{x^q}\)

Ze zbieżności całki \(\int\limits_0^1\frac{dx}{x^q}\) wynika zbieżność całki \(\int\limits_0^1\frac{dx}{x^p+x^q}\).

\(\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p+x^q}<\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}\)

Ze zbieżności całki \(\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}\) wynika zbieżność całki \(\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p+x^q}\).

Zatem całka \(\int\limits_0^{+\infty}\frac{dx}{x^p+x^q}=\int\limits_0^1\frac{dx}{x^p+x^q}+\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p+x^q}\) jest zbieżna.



Przypadek 3. \(p,q<1\).

\(\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p+x^q}\ge\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p+x^p}=\frac12\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}\)

Z rozbieżności ostatniej całki wynika rozbieżność całki \(\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p+x^q}\), a z niej rozbieżność całki \(\int\limits_0^{+\infty}\frac{dx}{x^p+x^q}\).

[Magda6686]

Kiedy widzę zapis:
\(\int\limits_0^1\frac{dx}{x^q}\)
to ja tu widzę całkę oznaczoną na przedziale [0,1], czy może powinnam widzieć całkę niewłaściwą drugiego rodzaju na przedziale [0,1)?

Jak sprawdzać zbieznosc /rozbieznosc z definicji takiej całki?

[Magda6686]

Dlaczego w przypadku drugim zastosowano nierówność ostrą, a co jeśli x=0?

W każdym razie dzięki bo bardzo mi pomogło.

[Crazy Driver]

Kiedy widzę zapis:
\(\int\limits_0^1\frac{dx}{x^q}\)
to ja tu widzę całkę oznaczoną na przedziale [0,1], czy może powinnam widzieć całkę niewłaściwą drugiego rodzaju na przedziale [0,1)?

Pod tym napisem mogą się kryć różne rzeczy. Kiedy napiszę \(\int\limits_0^1x^2\,dx\), to mam zwykłą całkę oznaczoną po przedziale \([0,1]\). A kiedy napiszę \(\int\limits_0^1\frac{dx}{x^2}\), to mam całkę niewłaściwą na przedziale skończonym \((0,1]\). Moje rozumowanie jest dość ogólne i obejmuje jednocześnie różne przypadki. Dla niektórych wartości \(p\) czy \(q\) mamy tam całki niewłaściwe, na innych oznaczone. Dobry ćwiczeniem sprawdzającym rozumienie tego rozwiązania będzie zastanowienie się nad tym, kiedy i z czym mamy tam do czynienia.

Jak sprawdzać zbieznosc /rozbieznosc z definicji takiej całki?

Pokazywanie, że pewne granice tutaj istnieją albo nie istnieją sprowadzałoby się i tak do tego, czego użyłem, tj. kryterium porównawczego, tylko wymagałoby wielu męczących napisów, które nie wiadomo czemu miałyby służyć. Kryterium porównawcze zostało sformułowane po to, żeby z niego korzystać.

Dlaczego w przypadku drugim zastosowano nierówność ostrą, a co jeśli x=0?

Można by sobie tam napisać nierówność nieostrą, to niczego nie zmienia. Ja napisałem tam nierówność ostrą, ponieważ wiem, że równość nie zajdzie. Piszemy tę nierówność dla \(x\in(0,1]\). Żadna z funkcji nie jest określona dla \(x=0\).