udowodnij

[NieDlaOka37]

Udowodnij, że jeżeli ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym, to ciąg bn=7 do potęgi an jest ciągiem geometrycznym. Proszę o pomoc.

[jola]

r - różnica ciągu arytmetycznego \(\ (a_n)\ \ \ \Rightarrow \ \ \bigwedge_{n \in N_+}\ a_{n+1}=a_n+r\)

\(\bigwedge_{n \in N_+}\ b_{n+1}=7^{a_{n+1}}=7^{a_n+r}=7^r \cdot 7^{a_n}=7^r \cdot b_n\ \ \ \Rightarrow \ \ \ q=7^r\ \ \ \Rightarrow \ \ \ (b_n)\ \ \\)jest ciągiem geometrycznym

[irena]

\((a_n)\)- ciąg arytmetyczny, czyli dla każdej dodatniej liczby naturalnej n: \(a_{n+1}-a_n=r \in R\)

\(b_n=7^{a_n}\\b_{n+1}=7^{a_{n+1}}\\\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{7^{a_{n+1}}}{7^{a_n}}=7^{a_{n+1}-a_n}=7^r \in R\)

Dla każdej dodatniej liczby naturalnej n: \(\frac{b_{n+1}}{b_n}=7^r \in R\), więc ciąg \((b_n)\) jest ciągiem geometrycznym.