Wielomiany

[mela1015]

Wyznacz brakujące współczynniki wielomianu \(W(x)=ax^3+bx^2+cx-4\) wiedząc, że suma wszystkich współczynników tego wielomianu jest równa 4, suma współczynników przy wyrazach stojących na miejscach parzystych jest równa sumie współczynników przy wyrazach stojących na miejscach parzystych i wielomian ten przy dzieleniu przez dwumian (x-2) daje resztę 36. Przedstaw wielomian W(x) w postaci iloczynu czynników liniowych.

[radagast]

\(\begin{cases}a+b+c-4=4\\a+c=b-4\\W(2)= 36\end{cases}\)
rozwiązać i cieszyć się możliwością przystąpienia do drugiej części zadania

[eresh]

\(a+b+c-4=4\\
a+b+c=8\)

\(a+c=b-4\)

\(W(2)=36\\
8a+4b+2c-4=36\\
8a+4b+2c=40\)

\(\begin{cases}a+b+c=8\\a+c=b-4\\8a+4b+2c=40\end{cases}\)
\(a=2\\
b=6\\c=0\)
\(W(x)=2x^3+6x^2-4\\
W(x)=2(x^3+3x^2-2)=2(x+1)(x^2+2x-2)=2(x+1)(x-(-1-\sqrt{3}))(x-(-1+\sqrt{3}))\)

[jola]

Z tw. o reszcie z dzielenia w(x) przez dwumian x-2 ( reszta R=w(2) ) wynika zależność
\(w(2) = 8a + 4b + 2c - 4 = 36\) , skąd
\(8a+4b+2c=40\) i po podzieleniu obustronnym przez 2 , otrzymamy równanie
\(4a+2b+c=20\)
Teraz w postaci równań zapisujemy pozostałe warunki zadania
\(a+b+c-4=4\) , skąd \(a+c=8-b\)
i następny warunek \(a+c=b-4\)
Z dwóch ostatnich równań otrzymamy \(b-4=8-b\) , skąd wyliczamy \(b=6\) .
Wstawiając wyliczone b = 6 do pierwszego równania i np. drugiego , otrzymamy
\(\begin{cases} 4a+2c=16\\a+c=2 \end{cases}\)
Rozwiązaniem tego układu będą a=2 i c=0 .
Wielomian jest postaci \(w(x) = 2x^3+6x^2-4\)
Jednym z pierwiastków jest \(x_1=-1\), skąd po podzieleniu w(x) przez (x+1) , otrzymamy
\(w(x)=2(x+1)(x^2+2x-2)\)
Wystarczy rozłożyć trójmian \(x^2+2x-2\) ,
\(\Delta =4+8=12 \So \sqrt{ \Delta } =2 \sqrt{3}\)
pierwiastkami tego trójmianu są liczby \(-1+ \sqrt{3}\) oraz \(-1- \sqrt{3}\)
Postać iloczynowa wielomianu \(w(x)= 2(x+1)(x+1- \sqrt{3})(x+1- \sqrt{3} )\)