Spośród wszystkich ostrosłupów prawidłowych czworokątnych o krawędzi bocznej a wybieramy ten,
dla którego przekrój płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy
oraz wierzchołek ostrosłupa ma największe pole. Znajdź objętość tego ostrosłupa
Stereometria, największa objętość strosłupa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
escher
- Moderator
- Posty: 308
- Rejestracja: 26 wrz 2008, 13:41
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 68 razy
Trzeba pewnie najpierw wybrać jakiś parametr według którego wyznaczymy pozostałe wielkości.
Jeśli na przykład oznaczymy przez \(x\) długość krawędzi podstawy, to możemy z tw. Pitagorasa obliczyć wysokość
ściany bocznej \(h=\sqrt{a^2-x^2/4}\)
i podstawę oraz wysokość przekroju, a więc jego pole:
\(P= \frac{x}{2\sqrt{2}}\sqrt{a^2-\frac{3x^2}{8}}\).
Badając tą funkcję znajdujemy \(x=\frac{2a}{\sqrt{3}}\) w którym to pole jest największe, a dalej proste już rachunki (jeszcze jeden Pitagoras i wzór na objetość) pozwalają obliczyć objętość.
Jeśli na przykład oznaczymy przez \(x\) długość krawędzi podstawy, to możemy z tw. Pitagorasa obliczyć wysokość
ściany bocznej \(h=\sqrt{a^2-x^2/4}\)
i podstawę oraz wysokość przekroju, a więc jego pole:
\(P= \frac{x}{2\sqrt{2}}\sqrt{a^2-\frac{3x^2}{8}}\).
Badając tą funkcję znajdujemy \(x=\frac{2a}{\sqrt{3}}\) w którym to pole jest największe, a dalej proste już rachunki (jeszcze jeden Pitagoras i wzór na objetość) pozwalają obliczyć objętość.