Kilka zadań z własności figur płaskich

[monisa92]

Zad. 1 Na okręgu o promieniu r opisano trapez prostokątny, którego najkrótszy bok jest równy 1,5 r. Znajdź długości pozostałych boków.

Zad. 2 W trapez równoramienny o kącie ostrym 60 stopni wpisano okrąg. Wyznacz stosunek obwodu trapezu do średnicy okręgu.

Zad.3 Odległość cięciwy od środka okręgu jest równa połowie jego długości. Wyznacz miary kątów wpisanych opartych na tej cięciwie.

Bardzo proszę o pomoc.

[irena]

Wysokość tego trapezu i krótsze jego ramię ma długość średnicy okręgu, czyli 2r. Najkrótszy bok trapezu musi być krótszą jego podstawą, czyli ma długość 1,5r. Jeżeli trapez jest opisany na okręgu, to suma jego podstaw musi być równa sumie jego ramion. Jeżeli dłuższa podstawa ma długość 1,5r+x, to mamy:
\(1,5r+1,5r+x=2r+c\\c=r+x\)
Czyli dłuższe ramię ma długość r+x.
Z twierdzenia Pitagorasa:
\((2r)^2+x^2=(r+x)^2\\x^2+4r^2=x^2+2rx+r^2\\2rx=3r^2\\2x=3r\\x=1,5r\)
Czyli: dłuższa podstawa ma długość 3r, a dłuższe ramię 2,5r.
Boki tego trapezu mają długości: 2r, 1,5r, 2,5r, 3r.

[irena]

2.
r- promień okręgu
Wysokość tego trapezu ma długość 2r.
c- ramię trapezu.
\(\frac{2r}{c}=sin60^o\\\frac{2r}{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}r\\c=\frac{4\sqrt{3}}{3}r\)
a,b- podstawy trapezu
Ponieważ trapez jest opisany na okręgu, więc a+b=2c

\(a+b=\frac{4\sqrt{3}}{3}r\)

Obwód trapezu:
\(O_t=2c+a+b\\O_t=\frac{16\sqrt{3}}{3}r\)

Stosunek z zadania:
\(\frac{\frac{16\sqrt{3}}{3}r}{2r}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\)

[irena]

Czy ta odległość to połowa promienia, czy połowa cięciwy?