Zadania różne - rozszerzenie

[Ciapek19872103]

1
Wyznacz wszystkie wartości a, dla których przedział (0,5;1) zawiera się w zbiorze rozwiązań nierówności \(ax2 −(2a +1)x + 2 > 0.\)
2
Okrąg przechodzący przez punkt K =(−4, 1 ) jest styczny do prostej o równaniu y = −1w punkcie A = (0, −1). Wyznacz współrzędne takich punktów B i C, należących do tego okręgu, że trójkąt ABC jest równoboczny.
3
Długości boków trójkąta ABC wynoszą: |BC| = 2, |AB| = 3, |AC| = 4. Dwusieczna kąta ACB przecina bok AB w punkcie D. Przez punkt B poprowadzono prostą równoległą do boku AC, przecinającą dwusieczną kąta ACB w punkcie E. Wykaż, że długość odcinka DE jest równa \(0,5 \sqrt{6}\)
4
Wszystkie ściany boczne ostrosłupa prawidłowego trójkątnego są trójkątami prostokątnymi, a jego objętość jest równa \(9 \sqrt{2}\). Oblicz długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa.
5
Trapez równoramienny opisany na okręgu ma pole 20 cm2 i obwód 20 cm. Oblicz długość okręgu wpisanego w ten trapez.
.

[eresh]

1
-
5
Trapez równoramienny opisany na okręgu ma pole 20 cm2 i obwód 20 cm. Oblicz długość okręgu wpisanego w ten trapez.
.

\(a+b=2c\\
a+b+2c=20\\
2c+2c=20\\
c=5\\
a+b=10\\
P=0,5(a+b)h\\
20=5h\\
h=4\\
2r=4\\
r=2\\
Ob=2\pi\cdot 4\pi\)

[eresh]

4
Wszystkie ściany boczne ostrosłupa prawidłowego trójkątnego są trójkątami prostokątnymi, a jego objętość jest równa \(9 \sqrt{2}\). Oblicz długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa.

a - długość krawędzi podstawy
b - długość krawędzi bocznej
H - wysokość bryły

\(b^2+b^2=a^2\\
2b^2=a^2\\
b^2=\frac{a^2}{2}\)

\(H^2+(\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2})^2=b^2\\
H^2+\frac{a^2}{3}=\frac{a^2}{2}\\
H^2=\frac{a^2}{6}\\
H=\frac{a\sqrt{6}}{6}\)

\(V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}H\\
9\sqrt{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{12}\cdot\frac{a\sqrt{6}}{6}\\
9\sqrt{2}=\frac{a^3\cdot 3\sqrt{2}}{72}\\
216=a^3\\
a=6\)

[eresh]

3
Długości boków trójkąta ABC wynoszą: |BC| = 2, |AB| = 3, |AC| = 4. Dwusieczna kąta ACB przecina bok AB w punkcie D. Przez punkt B poprowadzono prostą równoległą do boku AC, przecinającą dwusieczną kąta ACB w punkcie E. Wykaż, że długość odcinka DE jest równa \(0,5 \sqrt{6}\)

.

\(\frac{|AD|}{4}=\frac{3-|AD|}{2}\\
2|AD|=12-4|AD|\\
|AD|=2\\
|DB|=1\)

\(|\angle BAC|=\alpha\\
|BC|^2=|AB|^2+|AC|^2-2|AB||AC|\cos\alpha\\
4=16+9-24\cos\alpha\\
\cos\alpha=\frac{7}{8}\)

\(|DC|^2=|AD|^2+|AC|^2-2|AD||AC|\cos\alpha\\
|DC|^2=4+16-14\\
|DC|=\sqrt{6}\)

trójkąty ACD i EBD są podobne (mają takie same kąty)
\(\frac{|ED|}{|DB|}=\frac{|DC|}{|AD|}\\
\frac{|ED|}{1}=\frac{\sqrt{6}}{2}\\
|ED|=\frac{\sqrt{6}}{2}\)