Funkcja z wart. bezwględną i parametrem m - p. roz

[bolc]

Z.4 (5 pkt)

Zbadaj liczbę rozwiązań równania w zależności od parametru m:

\(|x^2-6x+8|+|x^2-6x+5|=m\)

Odpowiedź: 0 rozwiązań dla m<3, 2 rozwiązania dla m>5, 3 rozwiązania dla m=5, 4 rozwiązania dla 3<m<5 i nieskończenie wiele rozwiązań dla m=3

Komentarz: Zadanie zrobiłem zapisując tą wartość bezwzględną w post. funkcji klamerkowej, a następnie rysując jej wykres i z tego wykresu odczytałem rozwiązanie. Aczkolwiek jest to sposób bardzo czasochłonny i łatwo się pomylić. Proszę, żeby ktoś zrobił to innym sposobem.

[irena]

Ja bym po kolei "rozbiła" te wartości bezwzględne na przedziały i zobaczyła, z jakimi funkcjami mamy do czynienia w poszczególnych przedziałach.
\(x^2-6x+8=(x-2)(x-4)\\x^2-6x+5=(x-1)(x-5)\\|x^2-6x+8|= \begin{cases}x^2-6x+8,\ dla\ x \le 2\\-x^2+6x-8,\ dla\ 2<x<4\\x^2-6x+8,\ dla\ x \ge 4 \end{cases} \\|x^2-6x+5|= \begin{cases}x^2-6x+5,\ dla\ x \le 1\\-x^2+6x-5,\ dla\ 1<x<5\\x^2-6x+5,\ dla\ x \ge 5 \end{cases}\)

\(|x^2-6x+8|+|x^2-6x+5|= \begin{cases}2x^2-12x+13,\ dla\ x \le 1\\3,\ \ \ dla\ 1<x \le 2\\-x^2+12x-13,\ dla 2<x \le 4\\3,\ \ \ dla\ 4 \le x<5\\2x^2-12x+13,\ dla x \ge 5 \end{cases}\)

W pierwszym przedziale to część paraboli, dla której wierzchołek jest dla x=3, więc nie należy do przedziału. Wartość tej funkcji dla x=1 wynosi 3. Czyli wartości tej funkcji maleją od nieskończoności do 3.
W drugim przedziale to funkcja stała o wartości równej3.
W trzecim przedziale jest część paraboli. Wierzchołek jest w punkcie x=3. Wartość największa w tym przedziale jest równa 5. Najmniejsza wartość w tym przedziale jest równa 3.
Następny przedział- funkcja stała o wartości równej 3..
Ostatni przedział to część paraboli bez wierzchołka. Wartości funkcji rosną od 3 do nieskończoności.
Niestety, nie narysuję Ci tego wykresu, mam nadzieję, że sobie poradzisz.

Ilość rozwiązań równania w zadaniu to ilość punktów przecięcia tego wykresu z prostą o równaniu y=m, czyli z prosta poziomą na wysokości m.

Jak to narysujesz, to zobaczysz, że:

dla \(m \in (- \infty ;\ 3)\) rozwiązań nie ma wcale.

dla \(m \in (5;\ \infty )\) są 2 rozwiązania

dla \(m=5\) są 3 rozwiązania

dla \(m \in (3;\ 5)\) są 4 rozwiązania

dla \(m=3\) jest nieskończenie wiele rozwiązań (to te fragmenty, gdzie funkcja jest stała).

[bolc]

Niestety, nie narysuję Ci tego wykresu, mam nadzieję, że sobie poradzisz.

Zadanie zrobiłem zapisując tą wartość bezwzględną w post. funkcji klamerkowej, a następnie rysując jej wykres i z tego wykresu odczytałem rozwiązanie. Aczkolwiek jest to sposób bardzo czasochłonny i łatwo się pomylić. Proszę, żeby ktoś zrobił to innym sposobem.

Ok, więc ja zrobiłem podobnie jak Ty, no może trochę więcej się narobiłem bo rozbiłem to na :

\(m=\begin{cases} 2x^2-12x+13 \Rightarrow x >5 \\ 3 \Rightarrow x \in <4,5> \\ -2x^2+12x-13 \Rightarrow x \in (2,4) \\ 3 \Rightarrow x \in <1,2> \\ -2x^2+12x-13 \Rightarrow x \in (0,1)\\ 2x^2-12x+13 \Rightarrow x < 0 \end{cases}\)

Wiem, że to wygląda trochę strasznie, ale udało mi się jakoś narysować wykres tej funkcji i wyznaczyć poprawne rozwiązania. Myślałem, że może da się rozwiązać to zadanie bez rysowania wykresu, jakimś prostszym sposobem, ale chyba jednak nie jest to możliwe. Bardzo dziękuję