kwadrat w kole
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
kwadrat w kole
Punkt A(1,-1) jest wierzchołkiem kwadratu opisanego na okręgu x^2+y^2-4y-1=0 Znajdź pozostałe wierzchołki kwadratu.
\(x^2+y^2-4y-1=0\\x^2+(y-2)^2-4-1=0\\x^2+(y-2)^2=5\\S=(0,\ 2)\)
\(|AS|=\sqrt{(1-0)^2+(-1-2)^2}=\sqrt{10}\)
Prosta AS:
\(\frac{y+1}{x-1}=\frac{2+1}{0-1}\\\frac{y+1}{x-1}=-3\\y+1=-3x+3\\3x+y-2=0\\y=-3x+2\)
Punkt C leży na prostej AS. Ma więc współrzędne: C= (b, -3b+2).
|BS|=|CS|
\(|CS|=\sqrt{(b-0)^2+(-3b+2-2)^2}=\sqrt{10b^2}=|b|\cdot\sqrt{10}\\|b|=1 \Rightarrow \begin{cases}b=1\\-3b+2=-1 \end{cases} \vee \begin{cases}b=-1\\-3b+2=5 \end{cases} \\C=(-1;\ 5)\)
Prosta BD jest prostopadła do prostej AC i przechodzi przez punkt S.
Prosta BD:
\(y=\frac{1}{3}x+k\\2=\frac{1}{3}\cdot0+k\\k=2\\y=\frac{1}{3}x+2\)
Punkty B i D leżą na tej prostej. Ich współrzędne więc są równe: \(B=(c,\ \frac{1}{3}c+2)\)
\(|BS|=|DS|=\sqrt{10}\\|BS|=\sqrt{(c-0)^2+(\frac{1}{3}c+2-2)^2}=\sqrt{\frac{10}{9}c^2}=\frac{|c|}{3}\sqrt{10}\\\frac{|c|}{3}\sqrt{10}=\sqrt{10} \Leftrightarrow \frac{|c|}{3}=1 \Leftrightarrow \begin{cases}c=3\\\frac{1}{3}c+2=3 \end{cases} \vee \begin{cases}c=-3\\\frac{1}{3}c+2=1 \end{cases} \\B=(3,\ 3),\ D=(-3,\ 1)\)
\(|AS|=\sqrt{(1-0)^2+(-1-2)^2}=\sqrt{10}\)
Prosta AS:
\(\frac{y+1}{x-1}=\frac{2+1}{0-1}\\\frac{y+1}{x-1}=-3\\y+1=-3x+3\\3x+y-2=0\\y=-3x+2\)
Punkt C leży na prostej AS. Ma więc współrzędne: C= (b, -3b+2).
|BS|=|CS|
\(|CS|=\sqrt{(b-0)^2+(-3b+2-2)^2}=\sqrt{10b^2}=|b|\cdot\sqrt{10}\\|b|=1 \Rightarrow \begin{cases}b=1\\-3b+2=-1 \end{cases} \vee \begin{cases}b=-1\\-3b+2=5 \end{cases} \\C=(-1;\ 5)\)
Prosta BD jest prostopadła do prostej AC i przechodzi przez punkt S.
Prosta BD:
\(y=\frac{1}{3}x+k\\2=\frac{1}{3}\cdot0+k\\k=2\\y=\frac{1}{3}x+2\)
Punkty B i D leżą na tej prostej. Ich współrzędne więc są równe: \(B=(c,\ \frac{1}{3}c+2)\)
\(|BS|=|DS|=\sqrt{10}\\|BS|=\sqrt{(c-0)^2+(\frac{1}{3}c+2-2)^2}=\sqrt{\frac{10}{9}c^2}=\frac{|c|}{3}\sqrt{10}\\\frac{|c|}{3}\sqrt{10}=\sqrt{10} \Leftrightarrow \frac{|c|}{3}=1 \Leftrightarrow \begin{cases}c=3\\\frac{1}{3}c+2=3 \end{cases} \vee \begin{cases}c=-3\\\frac{1}{3}c+2=1 \end{cases} \\B=(3,\ 3),\ D=(-3,\ 1)\)