kłopotliwe zadania

[jonhio]

Zadanie 1. (5 p.)
W przedziale wagonu kolejowego ustawione są naprzeciw siebie dwa rzędy siedzeń. Każdy rząd składa się z czterech ponumerowanych miejsc. Do przedziału weszły cztery osoby. Dwie osoby usiadły na miejscach z jednego rzędu, pozostałe dwie – naprzeciwko dwóch pierwszych osób. Ile jest takich rozmieszczeń osób w przedziale?

Zadanie 2. (5 p.)
Z talii 52 kart losujemy dwie karty. Oznaczmy zdarzenia: A – wylosowano króla i damę,
B – wylosowano karty koloru czerwonego. Oblicz: P(A), P(B), P(AUB).

Zadanie 3. (5 p.)
Przygotowano dwie loterie, przy czym w pierwszej przygotowano 100, a w drugiej 300 losów. W której z tych loterii gracz kupujący dwa losy ma większe szanse wygrania (wylosowania co najmniej jednego losu wygrywającego), jeśli wiadomo, że w pierwszej loterii jest tylko jeden los wygrywający, a w drugiej loterii są tylko trzy losy wygrywające?

Zadanie 4. (5 p.)
Przy okrągłym stole usiadło losowo 10 osób. Wśród tych osób są: Ola, Monika, Łukasz i Grześ. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Ola i Monika oraz Łukasz i Grześ będą siedzieć naprzeciwko siebie?

[irena]

1.
Wybieramy 2 siedzenia po jednej stronie, bo po drugiej mają być te same. I lokujemy 4 osoby na tych siedzeniach. Czyli tych możliwości jest \({4 \choose 2} \cdot4!=6\cdot24=144\)

[irena]

2.
\(P(A)=\frac{ {4 \choose 1} \cdot {4 \choose 1} }{ {52 \choose 2} }=\frac{8}{663}\)

\(P(B)=\frac{ {26 \choose 2} }{ {52 \choose 2} }=\frac{25}{102}\)

\(P(A \cap B)=\frac{ {2 \choose 1} \cdot {2 \choose 1} }{ {52 \choose 2} }=\frac{2}{663}\)

\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\\P(A \cup B)=\frac{8}{663}+\frac{25}{102}-\frac{2}{663}=\frac{337}{1326}\)

[irena]

3.
\(P(A)=\frac{ {1 \choose 1} \cdot {99 \choose 1} }{ {100 \choose 2} }=\frac{1}{50}\)

\(P(B)=\frac{ {3 \choose 1} \cdot {297 \choose 1} + {3 \choose 2} }{ {300 \choose 2} }=\frac{149}{7475}\)

\(\frac{1495}{74750}=\frac{1}{50}>\frac{149}{7475}=\frac{1490}{74750}\\P(A)>P(B)\)

[irena]

4.
Wszystkich możliwości ulokowania 10 osób na 10 miejscach jest 10!.
Wybieramy najpierw 2 miejsca spośród pięciu kolejnych. To wyznacza już 2 miejsca po przeciwnych stronach stołu. Na tak wybranych czterech miejscach lokujemy Olę i Monikę (na 4 sposoby). Do każdej takiej sytuacji dopasowujemy Łukasza i Grzesia - na 2 sposoby. Pozostałe 6 osób sadowimy na pozostałych sześciu miejscach. Tych możliwości jest więc \({5 \choose 2} \cdot4\cdot2\cdot6!\)

\(P(A)=\frac{ {5 \choose 2} \cdot4\cdot2\cdot6!}{10!}=\frac{1}{63}\)