Badanie zmienności funkcji

[Vetuz]

Będe po kolei rozwiązywał pewne zadanko i proszę o sprawdzenie.
Dziękuje!

Funkcja: \(f(x)= \frac{x+1}{x^2}\)
Dziedzina: \(x \in (-\propto,0)\ \cup (0, \propto)\)

[Vetuz]

\(\lim_{x \to \frac{+}{-} \infty} \frac{x(1+ \frac{1}{x}) }{x^2} = 0\\
y=0, asymtota\ pozioma, brak\ innych\)

[Vetuz]

\(Badamy\ parzystosc:\\
\frac{-x+1}{(-x)^2}= \frac{-x+1}{x^2},\ nie\\
Badamy\ nieparzystosc:\\
-(\frac{-x+1}{x^2})= \frac{x+1}{x^2},\ wiec\ nieparzysta\)

[Vetuz]

\(\frac{x+1}{x^2}= 0\\
x +1= 0\\
x= -1\\
P(-1,0) \\
-------------------\\
\frac{0+1}{0} =0\\
P(0,0)\)

[Galen]

\(\lim_{x \to \frac{+}{-} \infty} \frac{x(1+ \frac{1}{x}) }{x^2} = 0\\
y=0, asymtota\ pozioma, brak\ innych\)

Dziedzina??
\(D=R \bez \left\{0 \right\}\)
Jest asymptota pionowa:
\(\Lim_{x\to 0^{ \pm }} \frac{x+1 }{x^2}=+ \infty \\
x=0\)

[Vetuz]

\(f'(x)= \frac{(x+1)*2x-x^2}{(x^2)^2} = \frac{2x^2+2x-x^2}{(x^2)^2}= \frac{x^2+2x}{(x^2)^2}\\
f'(x)=0\\
\frac{x^2+2x}{(x^2)^2} =0\\
x^2+2x=0\\
x(x+2)=0\\
x=0\\
x=-2\\
\nearrow(-\propto,-2>,(0,+\propto)\\
\searrow<-2,0)\)

[Galen]

Parzystość,nieparzystość
\(f(-x)= \frac{-x+1}{(-x)^2}= \frac{-x+1}{x^2}\\
-f(x)= \frac{-x-1}{x^2}\\
f(-x) \neq f(x)\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;f(-x) \neq -f(x)\)
Funkcja nie jest parzysta i nie jest nieparzysta.

[Vetuz]

\(\lim_{x \to \frac{+}{-} \infty} \frac{x(1+ \frac{1}{x}) }{x^2} = 0\\
y=0, asymtota\ pozioma, brak\ innych\)

Pionowa:
\(\Lim_{x\to 0^{ \pm }} \frac{x+1 }{x^2}=+ \infty \\
x=0\)

Zgadza się, wiec pozioma i pionowa
\(x=0\\
y=0\)

Ok, to tyle z wlasnosci prosze mi powiedziec czy wszystko sie zgadza to narysuje tabelke i wykres

[Galen]

\(\frac{x+1}{x^2}= 0\\
x +1= 0\\
x= -1\\
P(-1,0) \\
-------------------\\
\frac{0+1}{0} =0\\
P(0,0)\)

Nie ma punktu (0;0),bo liczba 0 nie należy do dziedziny.

[Vetuz]

Parzystość,nieparzystość
\(f(-x)= \frac{-x+1}{(-x)^2}= \frac{-x+1}{x^2}\\
-f(x)= \frac{-x-1}{x^2}\\
f(-x) \neq f(x)\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;f(-x) \neq -f(x)\)
Funkcja nie jest parzysta i nie jest nieparzysta.

Hmmm... parzysta,rozumiem. Tylko jak Ci ta nieparzysta wyszła
\(-( \frac{-x+1}{x^2} )\)

// jasne już

[Galen]

Pochodną masz źle.
\(f(x)= \frac{x+1}{x^2}\\f'(x)= \frac{(x+1)'x^2-(x+1)(x^2)'}{x^4}= \frac{x^2-2x(x+1)}{x^4}= \frac{-x^2-2x}{x^2}\)
\(f'(x)=0\\
-x^2-2x=0\;\;\;\;i\;\;\;\;x \neq 0\\x=-2\)
\(f'(x)>0\\-x^2-2x> 0\\ x\in (-2;0)\\f'(x)<0\\dla\\x\in (- \infty ;-2) \cup (0;+ \infty )\)
Funkcja maleje w \((- \infty ;-2)\) ,rośnie w \((-2;0)\) i maleje w \((0;+ \infty )\)

Funkcja osiąga minimum
\(f_{min}=f(-2)=- \frac{1}{4}\)

[Galen]

Funkcja nie jest nieparzysta.

Funkcja parzysta dla przeciwnych argumentów ma takie same wartości'
\(f(-x)=f(x)\)

Funkcja nieparzysta dla przeciwnych argumentów ma przeciwne wartości.
\(f(-x)=-f(x)\;\;\;czyli\;\;\;\;\;\;f(x)=-f(-x)\)
W tym zadaniu warunek nie jest spełniony,więc funkcja nie jest nieparzysta.

[Vetuz]

Funkcja nie jest nieparzysta.

Funkcja parzysta dla przeciwnych argumentów ma takie same wartości'
\(f(-x)=f(x)\)

Funkcja nieparzysta dla przeciwnych argumentów ma przeciwne wartości.
\(f(-x)=-f(x)\;\;\;czyli\;\;\;\;\;\;f(x)=-f(-x)\)
W tym zadaniu warunek nie jest spełniony,więc funkcja nie jest nieparzysta.

już jest jasne. Dziękuje Ci bardzo, zaraz dodam jeszcze 1 przyklad juz w calosci rozwiazany