Indukcja

[ms7]

Zadanie z indukcji.
Ciąg \((X_n)\) spełnia warunki: \(x_1=1\), \(x_2=3\), \(x_{n+2}=2x_{n+1}+x_{n}\) dla \(n=1,2,3,...\) . Wykaż, że:

\(x_n=\frac{(1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n}{2}\)

dla \(n=1,2,3,...\) .

Do końca nie wiem jak podejść do tego zadania.

Wiadomo, muszę pokazać że skoro zachodzi \(x_n=\frac{(1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n}{2}\) to zachodzi też \(x_{n+1}=\frac{(1+\sqrt{2})^{n+1}+(1-\sqrt{2})^{n+1}}{2}\), lecz nie wiem jak wykorzystać fakt: \(x_{n+2}=2x_{n+1}+x_{n}\).

Pomyślałem że wyznaczę: \(x_{n+1}=\frac{x_{n+2}-x_n}{2}\) i podstawie \(x_n=\frac{(1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n}{2}\), czyli miałbym:

\(\frac{(1+\sqrt{2})^{n+1}+(1-\sqrt{2})^{n+1}}{2}=\frac{\frac{(1+\sqrt{2})^{n+2}+(1-\sqrt{2})^{n+2}}{2}-\frac{(1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n}{2}}{2}\)

a następnie sprawdzę że lewa = prawa.

Dobry trop?