Witam wszystkich. Jestem na forum po raz pierwszy i mam nadzieję, że mogę liczyć tu na pomoc Będę wdzięczna Jeśli ktoś umie zrobić któreś z zadań, mam nadzieję, że podzieli się ze mną swoją wiedzą.
1. Skończony ciąg arytmetyczny ma nieparzystą liczbę wyrazów. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 2, a ostatni 42. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest o 242 większa od sumy wyrazów o numerach parzystych. Wyznacz różnicę tego ciągu i liczbę jego wyrazów.
2. Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy 5 jest o 500 mniejsza od sumy następnych n wyrazów tego ciągu. Oblicz n.
3. Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}\) jest równy 6. Dla pewnej liczby k mamy \(a_{k}=48\), a suma k początkowych wyrazów ciągu \(S_{k}=405\). Oblicz różnicę tego ciągu oraz wyznacz k.
Pozdrawiam.
Ciągi arytmetyczne - obliczanie różnicy wyrazów i inne
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
\(a_1=2\)
\(a_{2k+1}=42\) (bo nieparzysta liczba wyrazów określona jest wzorem n=2*k+1)
Pierwszy wyraz parzysty
\(a_2=2+r\)
Ostatni wyraz parzysty
\(a_{2k}=42-r\)
Podstawiając do równania
\(\frac{a_1+a_{2k+1}}{2}*(2k+1)=242+ \frac{a_2+a_{2k}}{2}*k\) (bo wyrazów nieparzystych jest wtedy k
mamy
\(\frac{2+42}{2}*(2k+1)=242+ \frac{2+r+42-r}{2}*k\)
Stąd
\(44k+22=242+22k\)
czyli
\(k=10\)
Ilość wyrazów w ciągu wynosi więc 21.
Licząc r ze wzoru
\(a_{21}=a_1+20*r\)
mamy r=2.
\(a_{2k+1}=42\) (bo nieparzysta liczba wyrazów określona jest wzorem n=2*k+1)
Pierwszy wyraz parzysty
\(a_2=2+r\)
Ostatni wyraz parzysty
\(a_{2k}=42-r\)
Podstawiając do równania
\(\frac{a_1+a_{2k+1}}{2}*(2k+1)=242+ \frac{a_2+a_{2k}}{2}*k\) (bo wyrazów nieparzystych jest wtedy k
mamy
\(\frac{2+42}{2}*(2k+1)=242+ \frac{2+r+42-r}{2}*k\)
Stąd
\(44k+22=242+22k\)
czyli
\(k=10\)
Ilość wyrazów w ciągu wynosi więc 21.
Licząc r ze wzoru
\(a_{21}=a_1+20*r\)
mamy r=2.
Z warunków zadania wynika, że
\(S_n+500=S_{2n}-S_n\)
Czyli
\(2*S_n+500-S_{2n}=0\)
Podstawiając wzory na sumę cześciową ciągu arytmetycznego, a w nim na wyraz n-ty ciągu, otrzymujemy:
\(2* \frac{a_1+a_1+(n-1)*r}{2}*n+500- \frac{a_1+a_1+(2n-1)*r}{2}*2n\)
Po dokonaniu stosownych obliczeń otrzymujemy
\(2a_1*n+5n^2-5n+500-2a_1*n-10n^2-5n\)
Po redukcji wyrazów podobnych wychodzi, że
\(-5n^2+500=0\) |(-5)
\(n^2-100=0\)
\((n-10)(n+10)=0\)
Więc n=10 (bo n jest liczbą naturalną)
\(S_n+500=S_{2n}-S_n\)
Czyli
\(2*S_n+500-S_{2n}=0\)
Podstawiając wzory na sumę cześciową ciągu arytmetycznego, a w nim na wyraz n-ty ciągu, otrzymujemy:
\(2* \frac{a_1+a_1+(n-1)*r}{2}*n+500- \frac{a_1+a_1+(2n-1)*r}{2}*2n\)
Po dokonaniu stosownych obliczeń otrzymujemy
\(2a_1*n+5n^2-5n+500-2a_1*n-10n^2-5n\)
Po redukcji wyrazów podobnych wychodzi, że
\(-5n^2+500=0\) |(-5)
\(n^2-100=0\)
\((n-10)(n+10)=0\)
Więc n=10 (bo n jest liczbą naturalną)
- Jerry
- Expert
- Posty: 3512
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1923 razy
Re: Ciągi arytmetyczne - obliczanie różnicy wyrazów i inne
Ponieważ
to niższego trzeba postawić na krześle, żeby popatrzył prosto w oczy wyższemu
Pozdrawiam
PS. Pisz w kodzie