Kinematyka

[cFFaniak]

Zad 1
Mrówka wędruje po nieruchomej kartce z prędkością V, która mozna rozłożyć na dwie składowe, wzdłóż osi x i y układu współrzędnych, i zapisać jako wektor v=[3,1], gdzie jednostką miary jest \(\frac{cm}{s}\). W układzie współrzędnych związanym z kartką mrówka rozpoczyna ruch w punkcie A=(0,0), a kończy w punkcie B=(3,1). Kartka ułożyła się na wózku w taki sposób, ze układ współrzędnych x'y' związany z wózkiem jest przesunięty o wektor a=[-4,-3] względem układu współrzędnych xy związanego z kartką.
a) Oblicz współrzędne punktów A i B w układzie współrzędnych x'y' związanym z wózkiem
b) Oblicz prędkośc mrówki z punktu widzenia nieruchomego obserwatora, jeśli wózek wraz z kartką porusza się zprędkością u taką że u=[-3,1]
c) Załóż, że w układzie xy mrówka wędruje z punktu A do B nie po linii prostej, lecz po linii łamanej, przez punkty C=(1,2) i D=(2,2), i opisz jej przemiszczenie, tor ruchu i przebytą drogę.

Zad 2
Czarnoksiężnik uwięził księżniczkę w wieży o wysokości h= 15m. Nie wie on jednak że księżniczka nosi magiczne pantofelki, które pozwalają jej skakać z dużych wysokości i szybko biegać.
a) Oblicz jaką najmniejszą prędkość poziomą \(V_0\) księżniczka musi osiągnąć w chwili skoku, aby zdołała wylądować poza ogrodzeniem otaczającym wieżę. Zewnętrzny brzeg ogrodzenia jest oddalony od murów wieży o około 25m, a wysokość ogrodzenia l=2m.
b) Księzniczka postanowiła uciec gdy czarnoksięznik przyniesie jej kolację. Musi wejśc po schodach, dziesięciokrotnie okrążając wieżę po spirali o promieniu 1,5m, z prędkością 2km/h. Ile czasu będzie miała księżniczka na ucieczkę, jeśli skoczy w chwili, w której czarnoksiężnik wejdzie na pierwszy stopień schodów? Jak daleko ucieknie, jeśli magiczne pantofelki będą ją unosić z prędkością \(V_o\)

[gremlin4]

zad 2
a) przykład rzutu poziomego; dwa równanka
\(y=h_o- \frac{1}{2}gt^2\)
\(x=v_0*t\)

z pierwszego równania
\(t= \sqrt{ \frac{2*(h_0-y)}{g} }\)
i podstawiamy do drugiego i przekształcamy
\(v_0= \frac{x}{t}= x* \sqrt{ \frac{g}{2*(h_0-y)} }\)
\(h_0=15m\)
\(g \approx 10 \frac{m}{s^2}\)
\(y=2m\)
\(x=25m\)
i podstawiając
\(v_0 \approx 15,5 \frac{m}{s}\)

[janusz55]

Odgrzebane po 10 latach.

Zadanie 1

Rys. układów współrzędnych prostokątnych \( Oxy \) i \( O'x'y'.\)

a)
\( (x'_{A},\ \ y'_{A}) = ( 4cm,\ \ 3cm).\)

\( (x'_{B},\ \ y'_{B}) = (4+3, 3+1) = (7 cm, \ \ 4cm).\)

b)
Prędkość mrówki:

\( \vec{v}_{mrówki} = \vec{v} + \vec{u} \)

\( \vec{v}_{mrówki} = [ 3 \frac{cm}{s},\ \ 1 \frac{cm}{s}] + [-3 \frac{cm}{s},\ \ 1\frac{cm}{s}] = [0 \frac{cm}{s},\ \ 2\frac{cm}{s}] \)

c)
Przemieszczenie mrówki:

\( \vec{AB} = [(x_{B} -x_{A}), (y_{B} -y_{A})] \)

\( \vec{AB} = [(3-0), (1 - 0) ] = [3cm,\ \ 1cm]. \)

Całkowita droga mrówki:
\( s = |\overline{AC}| + |\overline{CD}| + |\overline{DB}| \)

\( |\overline{AC}| = \sqrt{(x_{C}-x_{A})^2 + (y_{C}-y_{A})^2} \)

\( |\overline{AC}| = \sqrt{(x_{C}-x_{A})^2 + (y_{C}-y_{A})^2} \)

\( |\overline{AC}| = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{5} \ \ cm.\)

\( |\overline{CD}| = \sqrt{(x_{D}-x_{C})^2 + (y_{D}-y_{C})^2} \)

\( |\overline{CD}|= \ \ ... \)

\( |\overline{DB}| = \sqrt{(x_{B}-x_{D})^2 + (y_{B}-y_{D})^2} \)

\( |\overline{DB}|= \ \ ... \)

\( s = \ \ ... \)