czworokat w kole

[xxmarcia17xx]

W okrąg o środku O i promieniu 4 wpisano czworokąt ABCD, w którym |AB|=|BC| oraz kąt ADC ma miarę 120 stopni. Stosunek pola trójkąta ADB do pola trójkąta DCB wynosi 3:1. Oblicz obwód i pole czworokąta ABCD.

[irena]

Kąt ABC = 180-120=60, czyli trójkąt ABC jest równoboczny, wpisany w okrąg o promieniu 4. Można więc obliczyć długość jego boku, a. Mi wyszło \(a=4\sqrt{3}\).
Oznaczyłam ||AD|=x, |CD|=y i ze stosunku pól mam:
\(\frac{axsin\alpha}{aysin\beta}=3\\\beta=180^o-\alpha\\sin\beta=sin\alpha\\x=3y\)

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ACD;
\(a^2=x^2+y^2-2xycos120^o\\cos120^o=-cos60^o=-\frac{1}{2}\)
można obliczyć x i później y.

Dalej już chyba sobie poradzisz.

[xxmarcia17xx]

nie bardzo ale ok;] spisze od kogoś:)

[irena]

\(\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=4\\\frac{a\sqrt{3}}{3}=4\\a=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\\a^2=x^2+y^2-2xycos120^o\\(4\sqrt{3})^2=(3y)^2+y^2-2\cdot3y^2\cdot-\frac{1}{2}\\48=10y^2+3y^2\\13y^2=48\\y^2=\frac{48}{13}\\y=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{13}}=\frac{4\sqrt{39}}{13}\\x=\frac{12\sqrt{39}}{13}\)

\(Ob=2\cdot4\sqrt{3}+\frac{4\sqrt{39}}{13}+\frac{12\sqrt{39}}{13}=8\sqrt{3}+\frac{16\sqrt{39}}{13}\\Ob=\frac{104\sqrt{3}+16\sqrt{39}}{13}=\frac{8\sqrt{3}(13+\sqrt{13})}{13}\)

Pole:
\(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}xysin120^o\\sin120^o=sin60^o\\P=\frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{4\sqrt{39}}{13}\cdot\frac{12\sqrt{39}}{13}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\\P=12\sqrt{3}+\frac{36}{13}\sqrt{3}=\frac{156+36}{13}\sqrt{3}=\frac{192}{13}\sqrt{3}\)

Sprawdź, proszę, rachunki.

[xxmarcia17xx]

a jak została policzona długość boku a?

[irena]

a- długość boku trójkąta równobocznego, h- wysokość tego trójkąta, R=4 - promień okręgu opisanego na tym trójkącie

\(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\R=\frac{2}{3}h\\R=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\\\frac{a\sqrt{3}}{3}=4\\a\sqrt{3}=12\\a=\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\)