Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej

[piotrekq94]

Napisać równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej \(\begin{cases} -y+2z+2=0\\3x-y+z-6=0\end{cases}\) przechodzącej przez punkt \(P=(3,-1,2)\).

[denatlu]

wyliczamy \(y\) mnożąc drugie równanie przed dwa, tak aby skróciło się \(z\):
\(y=6x-14\)

potem podstawiając \(y\) do pierwszego równania dostaniemy \(z\):
\(z=-3x+8\)

robimy podstawianie do postaci parametrycznej prostej \(x=t\):

wtedy mamy:
\(\begin{cases} x=t \\ y=6t-14 \\ z=-3t+8 \end{cases}\)


wektor równoległy do tej prostej wynosi \(k[1,6,-3]\) i jest on jednocześnie prostopadły do szukanej płaszczyzny.
\(k=n_{\pi}\)
W takim razie zapisujemy sobie naszą płaszczyznę \(Ax+By+Cz+D=0\) uzupełniając o dane:
\(x+6y-3z+D=0\).

Do płaszczyzny ma należeć punkt \(P(3,-1,2)\), więc go podstawiamy i dostajemy \(D=9\)

ostatecznie: \(x-6y-3z+9=0\)

[piotrekq94]

A mi wyszło \(x+6y+3z-3=0\)



\(\begin{cases} x=6+t\\ y=-14+6t \\ z=-8+3t \end{cases}\)

[denatlu]

Twoja wersja jest poprawna, wprowadziłem w błąd, przepraszam.