Model klasyczny prawdopodobieństwa III

[kaziolo]

1.Cyfry \(0,1,2,...9\) ustawiono losowo. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że
a) między 0 a 9 stoją dokładnie 4 cyfry
b)1,2,3,4 będą stały obok siebie.

2.Przy okrągłym stole usiadło 10 kobiet i 10 mężczyzn. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że osoby tej samej płci nie siedzą koło siebie.

[kacper218]

zadanie 1:
\(\Omega=\{\omega: \ \omega=(a_1,a_2,...,a_{i}),\quad a_i=0,1,...,9, \quad i=1,2,...,10, \quad i\neq j \Rightarrow a_i\neq a_j\}\)
\(\overline{\overline{\Omega}}=10!\)
a)
wypisz sobie przypadki rozmieszczeń zer i dziewiątek. w pozostałe miejsca możemy dowolnie cyfry umieszczać.

Spoiler

a)
przypadki mamy takie:
(0,_,_,_,_,9,_,_,_,_)
(_,0,_,_,_,_,9,_,_,_)
(_,_,0,_,_,_,_,9,_,_)
(_,_,_,0,_,_,_,_,9,_)
(_,_,_,_,0,_,_,_,_,9)
W sumie 5. Pamiętamy, że zero i dziewięć możemy zamienić miejscami czyli mamy już 10 możliwości. Na pozostałych miejscach ustawiamy cyfry na 8! sposobów. Liczymy prawdopodobieństwo:
\(P(A)=\frac{10\cdot8!}{10!}=\frac{1}{9}\)

[kacper218]

b) rozumiem, że cyfry stoją obok siebie w dowolnej kolejności (kiedy w podanej to prawdopodobieństwo się zmienia)
Potraktuj te cyfry jako jedną i teraz policz ile jest różnych ustawień takich cyfr.

Spoiler

\(P(A)=\frac{4!\cdot 7\cdot 6!}{10!}=\frac{24}{8\cdot 9\cdot 10}=\frac{1}{30}\)

[kaziolo]

Jeżeli w podanej kolejności to:
\(P(B)= \frac{7!}{10!}\)?

[kacper218]

Dokładnie tak

[kaziolo]

Potrafi ktoś wytłumaczyć za 4:
Przy rozróżnianiu m i k między sobą
\(\overline{\overline{\Omega}}= \frac{20!}{20}=19!\\P(A)= \frac{10!9!}{19!}\)
gdy nie rozróżniamy m i k
\(\overline{\overline{\Omega}}= \frac{19!}{10!9!} \\P(A)= \frac{10!9!}{19!}\)

[kacper218]

Co do pierwszego to mamy tak:
przy stole jest 20 osób - Różnych rozstawień jest 20!, ale ponieważ jakiś d... robił okrągły to dzielimy przez liczbę osób
Aby zrozumieć weź sobie stół i tylko 3 osoby - wypisz wszystkie możliwości i zobaczysz dlaczego dzielimy.
Co do konkretnego zdarzenia to - jeśli nie siedzą koło siebie to znaczy że siedzą: m,k,m,k,m,k,m,k,m,k,m,k,m,k,m,k,m,k,m,k. I teraz facetów na 10! , kobiety na 10! i dzielimy przez 10 - ze względu na okrągły stół

[kaziolo]

nie umiem sobie tego rozpisać dla 3 osób ;(
Normalnie jest 6 ! możliwości. A przy okrągłym stole dlaczego jest 2?

[kacper218]

Zrób sobie rysunek
są 2 możliwości nie 3.

[kaziolo]

z mojego rysunku wynika, że mogę być 3 zmiany

[kacper218]

Siedzi sobie osoba A - i mamy tylko możliwości że osoba B siedzi na lewo lub na prawo od niej. Osoba C nie ma wyboru. Jaka wg ciebie 3 opcja?

[eresh]

okrągły stół nie ma początku, więc musimy go ustalić usadzając jakąś osobę, a potem ustawiamy resztę osób w stosunku do tej pierwszej, więc jeśli mamy usadzić przy okrągłym stole n osób to możemy to zrobić na (n-1)! sposobów

[kaziolo]

Zrozumiałam !

[eresh]

cieszę się

[kaziolo]

a jak wygląda podpunkt b? Dlaczego taka odpowiedź?