Prawdopodobieństwo

[Kora_]

Proszę o pomoc przy rozwiązaniu tych zadań z góry dzięki

zad.1
Przy danych :
P(A') = \frac{2}{3} , P(A' \cap B') = \frac{1}{2} , P(A \cap B) = \frac{1}{4}

oblicz :
P(B') ; P(A \cap B') ; P(A' \cap B') .

zad.2
Przy danych:
P(B') = \frac{2}{5} , P(A \cup B) = \frac{7}{10} , P(A' \cup B') = \frac{3}{4}

oblicz :
P(A'); P(B-(A \cap B)) ; P(A \cap B')

[irena]

1.
Zobacz, czy dobrze odczytałam dane, bo jedna z danych jest u Ciebie wśród liczb, które trzeba obliczyć.
\(P(A')=\frac{2}{3}\\P(A' \cap B')=\frac{1}{2}\\P(A \cap B)=\frac{1}{4}\)

Oblicz:
\(P(B')\\P(A \cap B')\\P(A' \cap B')=?\)

\(A \cap B'=A \setminus (A \cap B)\ \wedge \ (A \cap B) \subset A \Rightarrow P(A \cap B')=P(A)-P(A \cap B)\\P(A \cap B')=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}\)

\(P(A')=\frac{2}{3} \Rightarrow P(A)=\frac{1}{3}\\A' \cap B'=(A \cup B)'\\P(A' \cap B')=P((A \cup B)')=\frac{1}{2} \Rightarrow P(A \cup B)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\\P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\\P(B)=P(A \cup B)+P(A \cap B)-P(A)\\P(B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{3}=\frac{5}{12}\\P(B')=1-P(B) \Rightarrow P(B')=1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}\)

Jeżeli to trzecie prawdopodobieństwo, które trzeba obliczyć to \(P(A' \cap B\), to
\(A' \cap B=B \setminus (A \cap B)\ \wedge (A \cap B) \subset B \Rightarrow P(A' \cap B)=P(B)-P(A \cap B)\\P(A' \cap B)=\frac{5}{12}-\frac{1}{4}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\)

[irena]

2.
\(P(B')=\frac{2}{5} \Rightarrow P(B)=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\)

\(A' \cup B'=(A \cap B)'\\P(A \cap B)=1-P(A' \cup B')\\P(A \cap B)=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)

\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\\P(A)=P(A \cup B)+P(A \cap B)-P(B)\\P(A)=\frac{7}{10}+\frac{1}{4}-\frac{3}{5}=\frac{7}{20}\\P(A')=1-P(A)\\P(A')=1-\frac{7}{20}=\frac{13}{20}\)

\((A \cap B) \subset B \Rightarrow P(B \setminus (A \cap B))=P(B)-P(A \cap B)\\P(B \setminus (A \cap B))=\frac{3}{5}-\frac{1}{4}=\frac{7}{20}\)

\(A \cap B'=A \setminus (A \cap B)\\(A \cap B) \subset A \Rightarrow P(A \cap B')=P(A)-P(A \cap B)\\P(A \cap B')=\frac{7}{20}-\frac{1}{4}=\frac{1}{10}\)

[Kora_]

wieeeeeeeeelkie dzięki ! :*