pare pytan TAK/NIE

[t-naw]

Witam ostatnio dostałem takie zadanie i nie wiem jakie będą poprawne odpowiedzi mogę prosić o małą pomoc na pytania wystarczy odpowiedzieć TAK lub NIE
w nawiasach są podane moje typy.
1.Z ciągłości funkcji w punkcie wynika jej różniczkowalność w tym punkcie
(NIE)
2.Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w punkcie a, to funkcja będąca iloczynem iloczynem tych funkcji ma w punkcie a pochodną
(TAK)
3.Funkcja odwrotna do danej funkcji ma pochodną która jest funkcją odwrotną do jej pochodnej
(NIE)
4.Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu liczbowego ∑an jest zbieżność ciągu (an/an+1)ncN
(NIE)
5.Warunkiem dostatecznym zbieżności szeregu liczbowego ∑an jest zbieżność ciągu (an/an+1)ncN
(TAK)
6.Całka nieoznaczona funkcji f to rodzina funkcji {F + c : c R}
(TAK)
7.Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale to ma na tym przedziale funkcję pierwotną.
(TAK)
8.Jeżeli funkcja ma na przedziale funkcję pierwotną to jest na tym przedziale ciągła.
(NIE)
9.Całkowanie jest operacją liniową (tzn. addytywną i jednorodną)
(TAK)
10.Całkę oznaczoną na przedziale dla funkcji ciągłej na tym przedziale oblicza się jako różnicę wartości dowolnej funkcji pierwotnej tej funkcji w końcach przedziału
(TAK)
11.Sumą szeregu nazywamy liczbę s będącą granicą ciągu sum częściowych tego szeregu
(TAK)
12.Każdy szereg geometryczny jest zbieżny
(NIE)
13.Dla dowolnego szeregu jeśli lim an = 0 to szereg jest zbieżny.
(NIE)
14.Każdy szereg o wyrazach nieujemnych zbieżny jest bezwzględnie zbieżny
(TAK)
15.Kryterium całkowe zbieżności szeregów orzeka równoważność zbieżności szeregu i odpowiadającej mu całki niewłaściwej
(TAK)
16.Pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych to pochodne kierunkowe w kierunku wektorów dwusiecznych kątów między osiami układu współrzędnych
(NIE WIEM)
17.Warunkiem dostatecznym istnienia ekstremum lokalnego dla funkcji dwóch zmiennych jest zerowanie się wszystkich pochodnych cząstkowych tej funkcji
(NIE)
18.Funkcja n zmiennych ma pochodnych cząstkowych n-tego rzędu
(TAK)

[escher]

Na te pytania, które rozumiem odpowiedziałeś dobrze. W pytaniach, w których jest NIE, zwykle dość łatwo pomysleć kontrprzykład, aby mieć pewność. Tam gdzie jest TAK jest to zwykle definicja lub twierdzenie.

W 17 odpowiedzią jest NIE. Pochodne cząstkowe, to pochodne kierunkowe w kierunkach osi układu, a nie dwusiecznych pomiędzy.

Nie rozumiem treści (z powodu zapisu) pytań 4 i 5. o jaki ciąg chodzi? Przypuszczam jednak, że w obu może być odpowiedź negatywna.

A prpos kontrprzykładów w
1. \(f(x)=|x|\)

3.\(f(x)=x=f^{-1}(x)\) Pochodna jest nieodwracalna.

8. Tu chyba nieco trudniej. Np. \(f(x)=\sin\frac{1}{x}, f(0)=0\) na przedziale [-1,1]

12. \(\sum 2^n\)

13. \(\sum\frac{1}{n}\)

17. Znowu niełatwo, ale coś w rodzaju \(e^{\frac{1}{x}}-e^{\frac{1}{y}}\) powinno działać tj. mieć w zerze wszystkie pochodne cząstkowe (dowolnego rzędu) równe zeru i nie mieć ekstremum.
Oczywiście nie jest warunkiem dostatecznym zerowanie się pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu. O czym \(x^2-y^2\) świadczy.