wykaż że jeżeli P(A)>0 i P(B)>0 to P(A|B)>P(A)<=>P(B|A)>P(B)
zd2
wiedząc żę P(A')=1/5 P(B)=2/3 P(B'|A)=1/4 oblicz P(AuB)
Prawdopodobieństwo warunkowe
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1.
\(P(A)>0\ \wedge \ P(B)>0\\P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \Rightarrow P(A \cap B)=P(A|B)\cdot\ P(B)\\P(B|A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\\P(A \cap B)=P(B|A)\cdot\ P(A)\\P(A|B)\cdot\ P(B)=P(B|A)\cdot\ P(A)\\\frac{P(A|B)}{P(A)}=\frac{P(B|A)}{P(B)}\\P(A|B)>P(A) \Leftrightarrow \frac{P(A|B)}{P(A)}>1 \Leftrightarrow \frac{P(B|A)}{P(B)}>1 \Leftrightarrow P(B|A)>P(B)\)
\(P(A)>0\ \wedge \ P(B)>0\\P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \Rightarrow P(A \cap B)=P(A|B)\cdot\ P(B)\\P(B|A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\\P(A \cap B)=P(B|A)\cdot\ P(A)\\P(A|B)\cdot\ P(B)=P(B|A)\cdot\ P(A)\\\frac{P(A|B)}{P(A)}=\frac{P(B|A)}{P(B)}\\P(A|B)>P(A) \Leftrightarrow \frac{P(A|B)}{P(A)}>1 \Leftrightarrow \frac{P(B|A)}{P(B)}>1 \Leftrightarrow P(B|A)>P(B)\)
2.
\(P(A')=\frac{1}{5} \Rightarrow P(A)=\frac{4}{5}\\P(B'|A)=\frac{P(A \cap B')}{P(A)}\\P(A)\cdot\ P(B'|A)=P(B' \cap A)\\P(A \cap B')=\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{5}\\A=(A \cap B') \cup (A \cap B)\ \wedge \ (A \cap B') \cap (A \cap B)= \emptyset \Rightarrow P(A)=P(A \cap B')+P(A \cap B)\\P(A \cap B)=P(A)-P(A \cap B')\\P(A \cap B)=\frac{4}{5}-\frac{1}{5}=\frac{3}{5}\\P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\\P(A \cup B)=\frac{4}{5}+\frac{2}{3}-\frac{3}{5}=\frac{13}{15}\)
\(P(A')=\frac{1}{5} \Rightarrow P(A)=\frac{4}{5}\\P(B'|A)=\frac{P(A \cap B')}{P(A)}\\P(A)\cdot\ P(B'|A)=P(B' \cap A)\\P(A \cap B')=\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{5}\\A=(A \cap B') \cup (A \cap B)\ \wedge \ (A \cap B') \cap (A \cap B)= \emptyset \Rightarrow P(A)=P(A \cap B')+P(A \cap B)\\P(A \cap B)=P(A)-P(A \cap B')\\P(A \cap B)=\frac{4}{5}-\frac{1}{5}=\frac{3}{5}\\P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\\P(A \cup B)=\frac{4}{5}+\frac{2}{3}-\frac{3}{5}=\frac{13}{15}\)