Znajdź resztę z dzielenia liczby całkowitej\(a\) przez\(73\)wiedząc,
że \(a^{100} ≡ 2 (mod 73)\) oraz \(a ^{101} ≡ 69 (mod 73).\)
Wyznacz resztę dzielenia liczby całkowitej przez 73
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Panko
- Fachowiec
- Posty: 2946
- Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
- Lokalizacja: Radom
- Otrzymane podziękowania: 1556 razy
- Płeć:
Jeżeli \(a^{100} \equiv 2\) \(\\)(mod\(\\) \(73)\) to \(a^{100} \cdot a\equiv 2 \cdot a\) \(\\)(mod\(\\) \(73)\) \(\\)\(\\)
oraz \(a^{101} \equiv 69\) \(\\)(mod\(\\) \(73)\)
to z przechodniości tej relacji jest \(\\) \(2a \equiv 69\) \(\\)(mod\(\\) \(73)\)
Czyli \(\\)\(\exists\)\(\\)\(k \in C\) : \(2a-69=73k\)
Stąd \(2 |73k+69\) czyli \(k=2l+1\) ,\(\\)\(l \in C\)
Stąd \(a=\frac{69+73k}{2} =\frac{69+73( 2 \cdot l+1)}{2} =73 \cdot l+71\)
Stąd \(a\equiv 71\) \(\\)(mod\(\\) \(73)\)
oraz \(a^{101} \equiv 69\) \(\\)(mod\(\\) \(73)\)
to z przechodniości tej relacji jest \(\\) \(2a \equiv 69\) \(\\)(mod\(\\) \(73)\)
Czyli \(\\)\(\exists\)\(\\)\(k \in C\) : \(2a-69=73k\)
Stąd \(2 |73k+69\) czyli \(k=2l+1\) ,\(\\)\(l \in C\)
Stąd \(a=\frac{69+73k}{2} =\frac{69+73( 2 \cdot l+1)}{2} =73 \cdot l+71\)
Stąd \(a\equiv 71\) \(\\)(mod\(\\) \(73)\)