W równoległoboku w którym jeden z boków jest dwa razy dłuższy od drugiego , kąt ostry ma miarę 60 stopni , a dłuższa przekątna ma długość \(4 \sqrt{3}\)
a) oblicz długość boków
b) długość wysokości rownolegloboku poprowadzonej na dłuzszy bok.
c) objętość bryly otrzymanej w wyniku obrotu tego równoległoboku wokół dłuzszego boku.
zadanie z równoległobokiem
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Przekątna o danej długości wyznacza trójkąt, w którym boki o długościach a, b=2a tworzą kąt \(120^o\). \(cos120^o=cos(180^o-60^o)=-cos60^o=-\frac{1}{2}\). Z twierdzenia cosinusów:
a)
\((4\sqrt{3})^2=a^2+(2a)^2-2a\cdot2a\cdot\ cos120^o\\48=5a^2-4a^2\cdot(-\frac{1}{2})\\48=5a^2+2a^2\\7a^2=48\\a^2=\frac{48}{7}\\a=\frac{4\sqrt{21}}{7}\\b=\frac{8\sqrt{21}}{7}\)
b)
\(P=absin60^o=bh\\a\cdot\ sin60^o=h\\h=\frac{4\sqrt{21}}{7}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\\h=\frac{6\sqrt{7}}{7}\)
c)
Bryła, która otrzymamy w wyniku tego obrotu to walec o wysokości równej b i promieniu podstawy równym h, z którego wycięto stożek o promieniu h i doklejono taki sam stożek z drugiej strony. Objętość takiej bryły to więc objętość wyjściowego walca.
\(V=\pi\ h^2b\\V=\pi\cdot(\frac{6\sqrt{7}}{7})^2\cdot\frac{8\sqrt{21}}{7}\\V=\frac{288\sqrt{7}}{49}\pi\)
a)
\((4\sqrt{3})^2=a^2+(2a)^2-2a\cdot2a\cdot\ cos120^o\\48=5a^2-4a^2\cdot(-\frac{1}{2})\\48=5a^2+2a^2\\7a^2=48\\a^2=\frac{48}{7}\\a=\frac{4\sqrt{21}}{7}\\b=\frac{8\sqrt{21}}{7}\)
b)
\(P=absin60^o=bh\\a\cdot\ sin60^o=h\\h=\frac{4\sqrt{21}}{7}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\\h=\frac{6\sqrt{7}}{7}\)
c)
Bryła, która otrzymamy w wyniku tego obrotu to walec o wysokości równej b i promieniu podstawy równym h, z którego wycięto stożek o promieniu h i doklejono taki sam stożek z drugiej strony. Objętość takiej bryły to więc objętość wyjściowego walca.
\(V=\pi\ h^2b\\V=\pi\cdot(\frac{6\sqrt{7}}{7})^2\cdot\frac{8\sqrt{21}}{7}\\V=\frac{288\sqrt{7}}{49}\pi\)
Tylko że w odp są "trochę" inne wyniki.no,to w treści jest błąd. Krótsza przekątna równoległoboku leży naprzeciw kąta ostrego, a dłuższa- naprzeciw kąta rozwartego równoległoboku. Jeśli krótsza przekątna jest dana, to:
\((4\sqrt{3})^2=a^2+(2a)^2-2a\cdot2a\cdot\ cos60^o\\48=5a^2-2a^2\\3a^2=48\\a^2=16\\a=4\\b=8\)
\(a\cdot\ b\cdot\ sin60^o=bh\\h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\h=2\sqrt{3}\)
\(V=\pi\cdot(2\sqrt{3})^2\cdot8=96\pi\)
\((4\sqrt{3})^2=a^2+(2a)^2-2a\cdot2a\cdot\ cos60^o\\48=5a^2-2a^2\\3a^2=48\\a^2=16\\a=4\\b=8\)
\(a\cdot\ b\cdot\ sin60^o=bh\\h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\h=2\sqrt{3}\)
\(V=\pi\cdot(2\sqrt{3})^2\cdot8=96\pi\)
Można.inka_pl pisze:czy to zadanie można zrobić inaczej ? nie stosując wzoru na twierdzenie cosinusów.Jest ono zawarte w zbiorze testy maturalne -poziom podstawowy a twierdzenia cosinusów na podstawie nie wprowadzano nam.Odpowiedzi do tego zadania są takie ,jak podane w ostatnim poście .
Jeśli w trójkącie jeden z boków jest 2 razy dłuższy od drugiego i boki te tworzą kąt o mierze \(60^0\), to taki trójkąt jest połową trójkąta równobocznego, czyli trójkąt ten jest prostokątny, a dłuższy bok jest przeciwprostokątną.
Nie jest trudno to pokazać:
Niech w trójkącie ABC: |AB|=2a, |AC|=a, \(| \angle BAC|=60^0\).
Na półprostej AC zaznacz punkt P taki, że |AP|=2a. Trójkąt APB jest wtedy trójkątem równoramiennym o kącie między ramionami \(60^0\). Trójkąt taki jest równoboczny.
