f. homograficzna

[paluszek-19]

4.72
mam tutaj funkcje \(g(x) = -( \frac{2}{x+4} - 2\) i później h(x) = g(-x). Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji g i funkcji h. Mam tutaj problem z tą dziedziną h, g wyszło D = R-{-4} a ta h to jest D = R-{4}. Nie wiem własnie dlaczego.

[paluszek-19]

4.74

Proszę mi powiedzieć czy dobrze zapisałam \(f(x) = |\frac{x}{x-1}|= |\frac{x-1+1}{x-1}| = | \frac{x-1}{x-1} + \frac{1}{x-1} | = |\frac{1}{x-1} + 1|\)

[domino21]

\(g(x)=-(\frac{2}{x+4}-2)
x+4\neq 0
x\neq -4 \ \Rightarrow \ D_g = R-\{-4\}\)

\(h(x)=g(-x)=-(\frac{2}{-x+4}-2)
-x+4\neq 0
x\neq 4 \ \Rightarrow \ D_h= R-\{4\}\)

[domino21]

4.74

Proszę mi powiedzieć czy dobrze zapisałam \(f(x) = |\frac{x}{x-1}|= |\frac{x-1+1}{x-1}| = | \frac{x-1}{x-1} + \frac{1}{x-1} | = |\frac{1}{x-1} + 1|\)

zgadza się

[paluszek-19]

dzięki Domino
Proszę rozpisz mi to: \(f(x) = \frac{x+1}{-x-1}\)

[domino21]

\(f(x)=\frac{x+1}{-x-1}
D_f=R-\{1\}
f(x)=\frac{x+1}{-x-1}=\frac{x+1}{-(x+1)}=-1\)

czyli funkcja f(x) jest funkcją stałą y=1, która nie przyjmuje wartości dla x=1

[paluszek-19]

4.92
b) \(f(x) = \frac{1}{ \sqrt{log_{\frac{1}{2}} x} }\). należy wyznaczyć tego dziedzinę. doszłam do \(log_{\frac{1}{2}} x>0\), ale nie wiem co dalej w odp jest xE<0,1>

[domino21]

logarytm jest pod pierwiastkiem, na dodatek w mianowniku, więc \(\log_{\frac{1}{2}} x>0\)
liczba logarytmowana musi być dodatnia, więc \(x>0\)

\(\log_{\frac{1}{2}} x>0
\log_{\frac{1}{2}}x > \log_{\frac{1}{2}} 1\)
funkcja \(f(x)=\log_{\frac{1}{2}}x\) jest malejąca, dlatego
\(x<1\)
łącząc to z drugim warunkiem, mamy:
\(\begin{cases} x<1 \\ x>0 \end{cases} \ \Rightarrow \ x\in (0;1)\)

\(D_f=(0;1)\)

[paluszek-19]

mam też problem z d)\(f(x) = log_2[1-log{ \frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 6)]\)

[domino21]

obydwie liczby logarytmowane muszą być dodatnie:
\(\begin{cases} x^2-5x+6>0 \\ 1-\log_{\frac{1}{2}} (x^2-5x+6)>0 \end{cases}\)

z pierwszego warunku mamy:
\(x^2-5x+6>0
\Delta=25-24=1
x_1=\frac{5-1}{2}=2
x_2=\frac{5+1}{2}=3
x\in (-\infty;2)\cup (3;+\infty)\)

z drugiego warunku:
\(log_{\frac{1}{2}}(x^2-5x+6)<1
log_{\frac{1}{2}} (x^2-5x+6) <log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}
x^2-5x+6>\frac{1}{2}
x^2-5x+5\frac{1}{2}>0
\Delta=25-22=3
\sqrt{\Delta}=\sqrt{3}
x_1=\frac{5-\sqrt{3}}{2}
x_2=\frac{5+\sqrt{3}}{2}
x\in (-\infty;\frac{5-\sqrt{3}}{2} )\cup (\frac{5+\sqrt{3}}{2} ;+\infty)\)

biorąc część wspólną daje nam to:
\(\begin{cases} x\in (-\infty;2)\cup (3;+\infty) \\ x\in (-\infty;\frac{5-\sqrt{3}}{2} )\cup (\frac{5+\sqrt{3}}{2} ;+\infty) \end{cases} \ \Rightarrow \ x\in (-\infty;\frac{5-\sqrt{3}}{2} )\cup (\frac{5+\sqrt{3}}{2} ;+\infty)\)

[paluszek-19]

kochany jestes:)

[domino21]

\(log_{2x-1} (5x-4) \neq 2\)

liczba logarytmowana większa od 0:
\(5x-4>0
5x>4
x>\frac{4}{5}\)

podstawa logarytmu większa od 0 i różna od 1:
\(\begin{cases} 2x-1 >0 \\ 2x-1 \neq 1 \ \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases} x>\frac{1}{2} \\ x\neq 1 \end{cases} \ \Rightarrow \ x\in (\frac{1}{2};1) \cup (1;+\infty)\)

z definicji logarytmu:
\((2x-1)^2\neq 5x-4
4x^2-4x+1\neq 5x-4
4x^2-9x+5\neq 0
\Delta=81-80=1
x_1=\frac{9-1}{8}=1
x_2=\frac{9+1}{8}=\frac{5}{4}
x\in R-\{\frac{5}{4},1\}\)

część wspólna:
\(\begin{cases} x>\frac{4}{5} \\ x\in (\frac{1}{2};1) \cup (1;+\infty) \\ x\in R-\{\frac{5}{4},1\} \end{cases} \ \Rightarrow \ x\in (\frac{4}{5};1)\cup (1;\frac{5}{4}) \cup (\frac{5}{4};+\infty)\)