Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji
\(f(x)=2 (3cos^2x + 1)^2 -12 (3cos^2x + 1) +16\), gdzie \(x \in R\)
Bardzo proszę o pomoc
Funkcja kwadratowa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 147
- Rejestracja: 04 lut 2010, 22:30
- Podziękowania: 81 razy
-
- Stały bywalec
- Posty: 275
- Rejestracja: 26 sty 2010, 23:22
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 4 razy
Pozwolę sobie wprowadzić zmienną \(t=3cos^2x+1\). Funkcja przyjmuje wtedy postać:
\(f(x)=2t^2-12t+16\). Współczynnik \(a\) jest dodatni, czyli ramiona funkcji będą skierowane w górę, a więc funkcja osiąga najmniejszą wartość w wierzchołku. Współrzędna wierzchołka \(q\) wyraża się wzorem \(\frac{- \Delta }{4a}\)
\(\Delta =144-128=16\)
\(q= \frac{-16}{8} =-2\)
Żeby policzyć największą wartość funkcji policzę jaką wartość funkcja osiąga dla największej i najmniejszej możliwej wartości \(cos^2x \in <0,1>\)
dla \(cos^2x=1\)
\(f(x)=2 \cdot 4-12 \cdot 4+16=32-48+16=0\)
dla \(cos^2x=0\)
\(f(x)=2 \cdot 1-12 \cdot 1+16=18-12=6\)
Odp: \(f_{max}=6\) i \(f_{min}=-2\)
\(f(x)=2t^2-12t+16\). Współczynnik \(a\) jest dodatni, czyli ramiona funkcji będą skierowane w górę, a więc funkcja osiąga najmniejszą wartość w wierzchołku. Współrzędna wierzchołka \(q\) wyraża się wzorem \(\frac{- \Delta }{4a}\)
\(\Delta =144-128=16\)
\(q= \frac{-16}{8} =-2\)
Żeby policzyć największą wartość funkcji policzę jaką wartość funkcja osiąga dla największej i najmniejszej możliwej wartości \(cos^2x \in <0,1>\)
dla \(cos^2x=1\)
\(f(x)=2 \cdot 4-12 \cdot 4+16=32-48+16=0\)
dla \(cos^2x=0\)
\(f(x)=2 \cdot 1-12 \cdot 1+16=18-12=6\)
Odp: \(f_{max}=6\) i \(f_{min}=-2\)
-
- Stały bywalec
- Posty: 275
- Rejestracja: 26 sty 2010, 23:22
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 4 razy
Ponieważ \(cosx\) przyjmuje wartości z przedziału \(<-1,1>\) a funkcja \(cos^2x\) przyjmuje tylko wartości nieujemne, ponieważ każda liczba podniesiona do kwadratu daje liczbę nieujemną.
Można też narysować sobie wykres \(cos^2x\)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos^2x
lub przekształcić pierwiastkując \(cos^2x \Rightarrow \sqrt{cos^2x} \Rightarrow |cosx|\)
Można też narysować sobie wykres \(cos^2x\)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos^2x
lub przekształcić pierwiastkując \(cos^2x \Rightarrow \sqrt{cos^2x} \Rightarrow |cosx|\)
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 147
- Rejestracja: 04 lut 2010, 22:30
- Podziękowania: 81 razy