Okrąg i pkt. A - p. roz

[bolc]

Dany jest okrąg \((x-3)^2+(y-6)^2=16\) i punkt \(A=(0,2)\).

a) Wyznacz zbiór wszystkich współczynników kierunkowych prostych, które przechodzą przez punkt A i są rozłączne z danym okręgiem.
b) Napisz równania stycznych do okręgu przechodzących przez pkt A.

Odpowiedź: a)\((- \frac{24}{7} ,0)\) b) \(y=2,y= \frac{-24}{7} x+2\)

Komentarz: Zadanie próbowałem zrobić na 2 sposoby, ale niestety 2 razy wyszło mi źle.

Pierwszy sposób: ułożyłem układ równań
\(\begin{cases}y=ax+b\\0=2a+b\\(x-3)^2+(y-6)^2=16 \end{cases}\)
I chciałem znaleźć zbiór \(a\) dla którego ten układ nie ma rozwiązań.

Drugi sposób: próbowałem wyliczyć zbiór \(a\) z zależności

\(\frac{|Aa+Bb+C|}{ \sqrt{A^2+B^2}}>r\) ale niestety żadnym z tych sposobów nie udało mi się dojść do poprawnego rozwiązania. Proszę o pomoc.

[Galen]

Równanie każdej prostej przechodzącej przez punkt A ma postać
y = mx +2 m oznacza współczynnik kierunkowy prostej.
Układ równań prostej i okręgu ma nie mieć rozwiązań.Podstawiam za y wyrażenie mx+2 w równaniu okręgu.
(x-3)^2 + (mx+2-6)^2 = 16
(x-3)^2 + (mx - 4)^2 - 16 = 0
Po uporządkowaniu równanie ma postać
(1+mm)x^2 - (6+8m)x + 9 = 0
Delta=28mm + 96m i delta musi być ujemna,żeby równanie nie miało rozwiązań.
28mm + 96m < 0 |:4
7mm + 24m <0
m(7m + 24)<0
m € (-24/7 ; 0)
b)Prosta y = mx+2 jest styczną do danego okręgu jeśli układ równań z zadania a) ma dokładnie jedno rozwiązanie.Taka sytuacja będzie,gdy delta = 0 czyli m=0 lub m=-24/7
Równanie stycznej ma postać: y = 2 lub y =(-24/7)x + 2

[bolc]

No tak, przecież \(b=2\), nie wiem jak mogłem tego nie zauważyć. Czas na odpoczynek :p. Wielkie dzięki .

Edit//

Heh zapisałem \(0=2a+b\) zamiast \(2=0a+b \Rightarrow b=2\). Rzeczywiście muszę odpocząć.