Wyznaczyć rozwiązania podanych równań rzędu drugiego

[kobe24]

Wyznaczyć rozwiązania podanych równań rzędu drugiego:
a)\(x^{2}y''-(y')^{2}=0\)

b)\(xy''-y'=x^{2}e^{x}\)

c)\(2xy'y''=(y')^{2}-1\)


wiem ze trzeba podstawic za y'=u, y''=u' , u'=du/dx, ale nic mi nie wychodzi

[radagast]

Wyznaczyć rozwiązania podanych równań rzędu drugiego:
a)\(x^{2}y''-(y')^{2}=0\)

podstawmy
\(y'= \frac{dy}{dx} =t\\
y''= \frac{dt}{dx}\)
podstawiając to do równania a)
mamy:
\(x^2 \frac{dt}{dx}-t^2=0\\
x^2 \frac{dt}{dx}=t^2\\
\displaystyle \int_{}^{} \frac{dt}{t^2}= \int_{}^{} \frac{dx}{x^2} \\
\frac{1}{t}= \frac{1}{x}+C\\
t= \frac{x}{1+Cx}\\
\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1+Cx}\\
Cdy = \frac{1+Cx-1}{1+Cx}dx\\
Cdy = \left(1- \frac{1}{1+Cx} \right) dx\\
\displaystyle C \int_{}^{} dy = \int_{}^{} dx- \frac{1}{C} \int_{}^{} \frac{Cdx}{1+Cx}dx\\
Cy=x- \frac{1}{C}ln|1+Cx|+D\\
y= \frac{1}{C} x- \frac{1}{C^2}ln|1+Cx|+D\)

[kobe24]

\(Cdy= \frac{1+Cx-1}{1+Cx}dx\)

troche nie rozumiem tej linijki, skad sie wzielo C z lewej strony?

i czy \(\int_{}^{} \frac{dx}{x^{2}}\) to nie jest \(- \frac{1}{x}\) ??

[radagast]

No ja tam trochę poszłam na skróty (nie chciało mi się pisać)
to było tak:
\(\frac{dy}{dx}= \frac{x}{1+Cx} || \cdot dx \\
dy= \frac{x}{1+Cx}dx || \cdot C\\
Cdy= \frac{Cx}{1+Cx}dx \\
Cdy= \frac{1+Cx-1}{1+Cx}dx\\
Cdy= \left( 1-\frac{1}{1+Cx}\right) dx\\\)
zgadza się ?
a z tym minusem przed \(\frac{1}{x}\), to po prostu pomnożyłam obustronnie przez -1

[kobe24]

a po co sie mnozy przez C?

[radagast]

żeby wyłączyć 1 (patrz następny krok)

[kobe24]

a moglabyc na to spojrzec http://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=37&t=63901 ?