okręgi i sieczne

[ors2]

Okręgi O1 i O2 przecinają się w punktach M i N. Z punktu P, leżącego na prostej przechodzącej przez punkty M i N poprowadzono prostą k-sieczną okręgu O1 i prostą l-sieczną okręgu O2. Punkty A1 i B1 są punktami przecięcia prostej k z okręgiem O1, punkty A2 i B2 są punktami przeciecia prostej l z okręgiem O2. Wykaż, że długość PA1*PB1=PA2*PB2

[anka]

Z punktu \(P\) poprowadź styczne do tych okręgów. Punkt styczności z okręgiem o środku \(O_1\) oznacz \(C\), a z okręgiem o środku \(O_2\) przez \(D\).

Z twierdzenia o siecznej dla okręgu o środku \(O_1\) mamy:
\(PC^2=PA_1 \cdot PB_1\)
i
\(PC^2=PM \cdot PN\)
czyli
\(PA_1 \cdot PB_1=PM \cdot PN\)

Z twierdzenia o siecznej dla okręgu o środku \(O_2\) mamy:
\(PD^2=PA_2 \cdot PB_2\)
i
\(PD^2=PM \cdot PN\)
czyli
\(PA_2 \cdot PB_2=PL \cdot PM\)

więc
\(PA_1 \cdot PB_1=PA_2 \cdot PB_2\)