Trójkąt
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Jest "gotowy" wzór na środkową opuszczoną na bok długości a: \(s=\frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+c^2+2bccos\alpha}\)
Spróbuję go wyprowadzić:
Oznaczyłam: |AB|=b=10, |BC|=c=20, |AC|=a, |AD|=\(\frac{1}{2}a\), E- spodek wysokości poprowadzonej z punktu B, |ED|=x, |BD|=s, |AE|=\(\frac{1}{2}a-x\), |CD|=\(\frac{1}{2}a+x\)
W prostokątnym trójkącie ABE:
\(|BE|^2=b^2-(\frac{1}{2}a-x)^2\)
w prostokątnym trójkącie BEC:
\(|BE|^2=c^2-(\frac{1}{2}a+x)^2\)
W prostokątnym trójkącie BED:
\(s^2=|BE|^2+x^2\\|BE|^2=s^2-x^2\)
\(b^2-(\frac{1}{2}a-x)^2=c^2-(\frac{1}{2}a+x)^2\\c^2-\frac{1}{4}a^2-ax-x^2=b^2-\frac{1}{4}a^2+ax-x^2\\2ax=c^2-b^2\\ax=\frac{c^2-b^2}{2}\)
\(b^2-(\frac{1}{2}a-x)^2=s^2-x^2\\b^2-\frac{1}{4}a^2+ax-x^2=s^2-x^2\\b^2-\frac{1}{4}a^2+\frac{c^2-b^2}{2}=s^2\\s^2=b^2-\frac{1}{4}a^2+\frac{c^2-b^2}{2}\\s^2=\frac{4b^2-a^2+2c^2-2b^2}{4}\\s^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}\\s=\frac{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}{2}\)
Z twierdzenia cosinusów:
\(a^2=b^2+c^2-2bccos\alpha\\s=\frac{\sqrt{2b^2+2c^2-b^2-c^2+2bccos\alpha}}{2}=\frac{\sqrt{b^2+c^2+2bccos\alpha}}{2}\)
Czyli w tym wypadku:
\(s=\frac{\sqrt{10^2+20^2+2\cdot10\cdot20cos120^o}}{2}\\cos120^o=cos(180^o-60^o)=-cos60^o=-\frac{1}{2}\\s=\frac{\sqrt{100+400+400\cdot(-\frac{1}{2})}}{2}\)
\(s=\frac{\sqrt{500-200}}{2}=\frac{\sqrt{300}}{2}\\s=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\)
Spróbuję go wyprowadzić:
Oznaczyłam: |AB|=b=10, |BC|=c=20, |AC|=a, |AD|=\(\frac{1}{2}a\), E- spodek wysokości poprowadzonej z punktu B, |ED|=x, |BD|=s, |AE|=\(\frac{1}{2}a-x\), |CD|=\(\frac{1}{2}a+x\)
W prostokątnym trójkącie ABE:
\(|BE|^2=b^2-(\frac{1}{2}a-x)^2\)
w prostokątnym trójkącie BEC:
\(|BE|^2=c^2-(\frac{1}{2}a+x)^2\)
W prostokątnym trójkącie BED:
\(s^2=|BE|^2+x^2\\|BE|^2=s^2-x^2\)
\(b^2-(\frac{1}{2}a-x)^2=c^2-(\frac{1}{2}a+x)^2\\c^2-\frac{1}{4}a^2-ax-x^2=b^2-\frac{1}{4}a^2+ax-x^2\\2ax=c^2-b^2\\ax=\frac{c^2-b^2}{2}\)
\(b^2-(\frac{1}{2}a-x)^2=s^2-x^2\\b^2-\frac{1}{4}a^2+ax-x^2=s^2-x^2\\b^2-\frac{1}{4}a^2+\frac{c^2-b^2}{2}=s^2\\s^2=b^2-\frac{1}{4}a^2+\frac{c^2-b^2}{2}\\s^2=\frac{4b^2-a^2+2c^2-2b^2}{4}\\s^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}\\s=\frac{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}{2}\)
Z twierdzenia cosinusów:
\(a^2=b^2+c^2-2bccos\alpha\\s=\frac{\sqrt{2b^2+2c^2-b^2-c^2+2bccos\alpha}}{2}=\frac{\sqrt{b^2+c^2+2bccos\alpha}}{2}\)
Czyli w tym wypadku:
\(s=\frac{\sqrt{10^2+20^2+2\cdot10\cdot20cos120^o}}{2}\\cos120^o=cos(180^o-60^o)=-cos60^o=-\frac{1}{2}\\s=\frac{\sqrt{100+400+400\cdot(-\frac{1}{2})}}{2}\)
\(s=\frac{\sqrt{500-200}}{2}=\frac{\sqrt{300}}{2}\\s=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\)