eksremum funkcji dwóch zmiennych z definicji

[kejkun]

1. Korzystając z definicji rozstrzygnąć, czy w punkcie \((0,0)\) funkcja f ma ekstremum lokalne
\(a) f (x, y) = sin x + y ; b) f (x, y)=1+ x^3 y^3 ; c) f (x, y) = 5- x^4 - 2y^6\)

to np. przykład a)
w otoczeniu punktu \((0,0)\)
rozważmy 4 przypadki:
\(x \ge 0 , y \ge 0\)
\(f (x, y) >0\)

\(x < 0 , y \ge 0\)
\(f (x, y) <0\)


\(x < 0 , y < 0\)
\(f (x, y) <0\)

\(x \ge 0 , y < 0\)
\(f (x, y) <0\)

wobec czego ekstremum nie istnieje.

Tak to trzeba zrobić czy inaczej? I jak się zabrać za inne przykłady?

[Panko]

Stosujesz się do definicji ekstremum lokalnego funkcji w punkcie :
Np maksimum lokalne
\(f(x,y)\) ma w punkcie \((x_0,y_0)=(0,0)\) maksimum jeżeli istnieje takie otoczenie tego punktu \((0,0)\) o promieniu \(\delta>0\) ,że \(\forall (x,y)\)\(\\)\(|x-0| <\delta\)\(\\)\(\wedge\)\(|y-0| <\delta\) \(\\) jest \(f(x,y) \le f(0,0)=1\)

Załóżmy ,że \(f(x,y)=1+(xy)^3\) ma w \((0,0)\) maksimum lokalne .
Istnieje więc taka dodatnia \(\delta\) jak powyżej . Weźmy więc takie naturalne \(n\) , że \(\frac{1}{n}<\delta\) .
Wtedy punkt \(( \frac{1}{n},\frac{1}{n})\)należy do otoczenia o promieniu \(\delta\) oraz \(f(( \frac{1}{n},\frac{1}{n}) ) = 1+\frac{1}{n^6} >1\) . Sprzeczność . Nie jest to maksimum lokalne .

Podobnie pokazujesz ,że nie jest to minimum lokalne , tyle że bierzesz punkt \(( -\frac{1}{n},\frac{1}{n})\) lu \(( \frac{1}{n},-\frac{1}{n})\)

[Panko]

c) tu funkcja \(f(x,y)=5-x^4-2y^6\) w punkcie \((0,0)\) ma maksimum lokalne ( właściwe)
Ponieważ \(\forall (x,y) \neq (0,0)\) \(\\) \(\\)\(f(x,y)<f(0,0)=5\)
Ponieważ \(\forall (x,y) \neq (0,0)\) \(\\)\(\\) \(0<x^4+2y^6\)

[kejkun]

Stosujesz się do definicji ekstremum lokalnego funkcji w punkcie :
Np maksimum lokalne
\(f(x,y)\) ma w punkcie \((x_0,y_0)=(0,0)\) maksimum jeżeli istnieje takie otoczenie tego punktu \((0,0)\) o promieniu \(\delta>0\) ,że \(\forall (x,y)\)\(\\)\(|x-0| <\delta\)\(\\)\(\wedge\)\(|y-0| <\delta\) \(\\) jest \(f(x,y) \le f(0,0)=1\)

a jakie są warunki na minimum lokalne?
minimum lokalne
\(f(x,y)\) ma w punkcie \((x_0,y_0)=(0,0)\) minimum jeżeli istnieje takie otoczenie tego punktu \((0,0)\) o promieniu \(\delta>0\) ,że ...?
że
\(\forall (x,y)\)\(\\)\(|x-0| <\delta\)\(\\)\(\wedge\)\(|y-0| <\delta\) \(\\) jest \(f(x,y) \ge f(0,0)=1\)

2. u Cb \(\Lim_{n \to \infty }\) tak?
i dlatego jest sprzeczność, bo \(f(( \frac{1}{n},\frac{1}{n}) ) = 1+\frac{1}{n^6} >1\) są równe ?

[kejkun]

jeszcze jedna rzecz:

mam tu pytanie, czemu np. tej samej definicji nie można zastosować dla minimum, tj. mamy minimum, jeśli
\(f(x,y)\) ma w punkcie \((x_0,y_0)=(0,0)\) maksimum jeżeli istnieje takie otoczenie tego punktu \((0,0)\) o promieniu \(\delta>0\) ,że \(\forall (x,y)\)\(|x-0| <\delta\)\(\wedge\)\(|y-0| <\delta\) jest \(f(x,y) \ge f(0,0)=1\)[/tex]

wtedy dla punktu tego samego, tj. \(\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n} \right)\) wychodzi, że mamy minimum, czemu źle myślę ?
bo: \(f(( \frac{1}{n},\frac{1}{n}) ) = 1+\frac{1}{n^6} >1\) . jest prawdą
hm??

[Panko]

No nie
Weź dla pokazania, że tam w \((0,0)\) NIE MA minimum lokalnego dobry punkt \(( -\frac{1}{n} ,\frac{1}{n})\)
Czyli dobrałem takie dobre \(n \in N\) , że \(n>\frac{1}{\delta}\)
Wtedy \(x= -\frac{1}{n},y=\frac{1}{n}\) jest \(| -\frac{1}{n} -0 | <\delta\) i \(| \frac{1}{n} -0 | <\delta\)
oraz \(f( -\frac{1}{n},\frac{1}{n} ) =1+( -\frac{1}{n^2})^3\) i oczywiście \(f( -\frac{1}{n},\frac{1}{n} ) <1\) a miało być \(f(x,y) \ge f(0,0)=1\)

[kejkun]

no, ale jakbyś wziął punkt \(( \frac{1}{n}, \frac{1}{n})\) to jest minimum chyba wtedy, hm ?
bo: \(f(( \frac{1}{n},\frac{1}{n}) ) = 1+\frac{1}{n^6} >1\) . jest prawdą
czemu??

jak to mozliwe, ze dla 1 punkty wychodzi ze jest minimum, a dla innego, ze go nie ma ?

[Panko]

W definicji minimum lokalnego jest :
ISTNIEJE \(\delta >0\) i stąd otoczenie , że DLA KAŻDEGO \((x,y)\) \(|x|<\delta\) , \(|y|<\delta\) jest \(f(x,y) \ge f(0,0)\)

Zeby pokazać ,że NIE JEST to minimum i nie jest to maksimum wystarczy zanegować definicję

[kejkun]

no tak czyli wystarczy pokazac 1 punkt, ktory tego nie spełnia, dziekuje