ze zbioru zadan Pazdro, inne

[miauczykotek]

suma pierwiastków trójmianu \(y=ax^2+bx+c\) jest równa \(loga^2{c} \cdot logc^2{a}\) gdzie a nalezy do R bez 1, c nalezy do R bez 1. Uzasadnij ze odcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem tego trójmianu jest równa 1/8.

jak to zrobic???

[bolc]

\(x_1+x_2= \frac{-b}{a}\) wzory Vieta
\(x_1+x_2=log_a_^2c*log_c_^2a \Rightarrow \frac{1}{2log_ca}* \frac{1}{2log_ac} \Rightarrow \frac{1}{4} *log_ac*log_ca \Rightarrow \frac{1}{4}log_cc \Rightarrow \frac{1}{4}\)

\(x_1+x_2= \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{-b}{a}= \frac{1}{4}\)

Odcięta wierzchołka paraboli jest to współrzędna \(x\) wierzchołka, którą można obliczyć ze wzoru
\(p = \frac{-b}{2a}\)

Przekształcając odpowiedni wzór mamy \(p= \frac{1}{2} * \frac{-b}{a}\) podstawiając za \(\frac{-b}{a}\) wartość jaką obliczyliśmy, czyli \(\frac{1}{4}\) otrzymujemy :

\(p= \frac{1}{2} * \frac{1}{4} = \frac{1}{8}\)
c.b.d.o

[miauczykotek]

jeszcze tylko pytanie, jaki to wzór jest użyty jak juz jest ta czesc z 1/4. Bo nie wiem skąd to sie wzięło a potem logcc??

[Szimi10]

Na początek proponuję zmienić dziedzinę, bo \(a\) i \(c\) mają należeć do \(R_+\).
Teraz wyjaśnienie pojęcia "odciętej": odcięta wierzchołka paraboli to pierwsza współrzędna wierzchołka oznaczana jako \(x_w\)

Teraz można przejść do rozwiązania zadania, zaczniemy od przekształcenia podanej sumy pierwiastków (tak aby otrzymać tą samą podstawę:
\(log_{a^2}c \cdot log_{c^2}a = \frac{logc}{loga^2} \cdot \frac{loga}{logc^2}=\\ =\frac{logc}{2loga} \cdot \frac {loga}{2logc}=\frac{1}{4}\)

Z wzorów wieta wiemy, że \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2x_w\). Oraz z logicznego punktu widzenia też jesteśmy w stanie to wywnioskować, ponieważ wierzchołek leży pomiędzy miejscami zerowymi (oczywiście jeśli mówimy o paraboli jak w tym przypadku). Skoro tak jest to współrzędna wierzchołka jest średnią arytmetyczną współrzędnych miejsc zerowych. \(\frac{x_1+x_2}{2}\)

Mamy odpowiedź, \(x_w=\frac{\frac{1}{4}}{2}=\frac{1}{8}\)

Pozdrawiam
Szymon.

[miauczykotek]

dzięki.. kurcze tylko ja nie nie moge zrozumiec tzn, jak sprowadza sie tu do tej samej podstawy... logarytmu

[bolc]

korzystając ze wzoru \(log_ab= \frac{log_cb}{log_ca}\) gdzie \(c\) c jest dowolną liczbą spełniającą warunki (czyli \(c \in R_+- \left\{ 1\right\}\))

Na przykład:
\(log_{a^2}c= \frac{log_{10}c}{log_{10}a^2}\) Tylko, że przy logarytmach dziesiętnych tej \(10\) nie trzeba pisać .

[miauczykotek]

dzięki:):):)