kombinatoryka i wyprowadzenie wzoru

[bieniol111]

zad 3.
W rzędzie siedzi 12 osób. Wybieramy 5 osobową delegację. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród losowo wybranych 5 osób nie zostanie wybrana żadna para osób siedzących obok siebie. Jak zmieni się szukane prawdopodobieństwo, jeśli osoby będą siedzieć przy okrągłym stole?

zad 4.
Wyprowadzić wzór na Sn= 1^2+2^2+3^2+...+n^2 , nie korzystając z indukcji matematycznej.

Jesli ktos wie jak to zrobic prosze o jak najszybszą pomoc. Z gory dziekuje

[octahedron]

\(\displaystyle{
4)\,S_n=\sum_{k=1}^nk^2=\sum_{k=0}^nk^2\\
T_n=\sum_{k=1}^nk^3=\sum_{k=0}^nk^3\\
T_{n+1}=\sum_{k=1}^{n+1}k^3=T_n+(n+1)^3\\
T_{n+1}=\sum_{k=1}^{n+1}k^3=\sum_{k=0}^n(k+1)^3=\sum_{k=0}^n(k^3+3k^2+3k+1)=\sum_{k=0}^nk^3+3\sum_{k=0}^nk^2+3\sum_{k=0}^nk+\sum_{k=0}^n1=\\
=T_n+3S_n+\frac{3n(n+1)}{2}+n+1=T_n+(n+1)^3\\
3S_n+\frac{3n(n+1)}{2}+n+1=(n+1)^3\\
S_n=\frac{2(n+1)^3-2(n+1)-3n(n+1)}{6}=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}\\
}\)

[Panko]

4. Postulujemy,że \(S_n= an^3+bn^2+cn+d\) , szukamy współczynniki a,b,c,d
Jest \(S_0=0^2=0\) i stąd \(S_0= a*0^3+b*0^2+c*0+d =d\) \(\\) \(\\)czyli \(d=0\)

Obliczamy różnicę : \(S_{n+1}-S_{n}= (1^2+2^2+....n^2++ (n+1)^2) -(1^2+2^2+....n^2) =(n+1)^2=n^2+2n+1\)

Oraz \(S_{n+1}-S_{n}=a(n+1)^3+b(n+1)^2+c(n+1) - ( an^3+bn^2+cn )=\)
\(= an^3+ (3a+b)n^2+(3a+2b+c)n+(a+b+c)- ( an^3+bn^2+cn )= 3an^2+(3a+2b)n+(a+b+c)\)

Zachodzi równość \(\forall\)\(n \in N\) : \(3an^2+(3a+2b)n+(a+b+c)=n^2+2n+1\).
Równość zachodzi gdy \(\\) \(3a=1 \wedge 3a+2b=2 \wedge a+b+c=1\)
Dostajemy : \(a=\frac{1}{3} ,b=\frac{1}{2},c=\frac{1}{6}\)


Stąd : \(S_n= \frac{1}{3} n^3+ \frac{1}{2}n^2+ \frac{1}{6}n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

[bieniol111]

Dieki panowie!
Ale do 2 rozwiazania dlaczego postulujemy ze to jest wielomian stopnia 3 ?