wykazać, że czworokat jest trapezem

[celia11]

proszę o pomoc w rozwiazaniu:

Wykaż, że czworokat o wierzchołkach \(A=(-2,0)\), \(B=(4,3)\), \(C=(6,7)\), \(D=(0,4)\) jest trapezem.


dziękuję

[irena]

Trzeba pokazać, że ma parę boków równoległych.
\(\vec{AB}=[4+2,3-0]=[6,3]\\\vec{DC}=[6-0,7-4]=[6,3]\\\vec{AB}=\vec{DC} \Rightarrow AB \parallel DC\)

[celia11]

\(\vec{AB}=[4+2,3-0]=[6,3]\\\vec{DC}=[6-0,7-4]=[6,3]\\)

co oznacza ten zapis?

dziękuje

[irena]

Miałaś wektory?
Jeśli nie, to zaraz napisz.

[celia11]

bardzo proszę, dziekuję

[Szimi10]

Trapez jest czworokątem który ma parę boków równoległych. Zatem trzeba wykazać, ze jeśli poprowadzimy proste przez te punkty, to przynajmniej dwie z nich będą do siebie równoległe. Oczywiście w takiej definicji trapezu równoległobok też będzie trapezem. Zdarza się też natkąć na definicje która mówi, że trapez jest czworokątem posiadającym tylko jedną parę boków równoległych (wtedy równoległobok wypada). My jednak przyjmiemy za słuszą tą pierwszą i uznamy, że ewentualny równoległobok będzie szczegółnym przypadkiem trapezu.
Napiszmy więc proste.

Prosta \(AB\):
\(P=(-2,0)\) \(B=(4,3)\)

Równanie ogólne prostej k:
\(k:y=ax+b\)

Postawiamy punkty i tworzymy układ równań:
\(\{0=-2a+b \\3=4a+b\)
\(\{b=2a\\3=4a+2a\)
\(\{a=\frac{1}{2}\\b=1\)
Prosta AB (k) ma postać: \(k:y=\frac{1}{2}x+1\)

Piszemy prostą CD:
\(C=(6,7)\) \(D=(0,4)\)

\(\{7=6a+b\\4=b\)
\(\{b=4\\a=\frac{1}{2}\)

Równanie prostej \(l:y=\frac{1}{2}x+4\)

Proste k i l są równoległe ponieważ ich współczynniki kierunkowe (\(a=\frac{1}{2}\)) są takie same.
Ja śmiem twierdzić, że fugura jest równoległobokiem, bo pisząc równania prostych BC oraz AD też otrzymamy proste równoległe.

Odp: Podana figura jest trapezem

Pozdrawiam
Szymon.

[irena]

Pokażę, że proste AB i CD są równoległe:
Prosta AB:
\(\frac{y-0}{x+2}=\frac{3-0}{4+2}\\\frac{y}{x+2}=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{2}x+1\)

Prosta CD:
\(\frac{y-4}{x-0}=\frac{7-4}{6-0}\\\frac{y-4}{x}=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{2}x+4\)

Proste AB i CD są równoległe. Czyli czworokąt ABCD jest trapezem.

[celia11]

bardzo dziękuję, pozdrawiam

[celia11]

\(\frac{y-0}{x+2}=\frac{3-0}{4+2}\)

skąd jest ten zapis?

dziękuję

[irena]

Tak tworzy się równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty.
Równanie prostej przechodzącej przez punkty \((x_1,y_1),\ (x_2,y_2)\):

\(\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)

[celia11]

tego sposobu w ogóle nie znałam, zawsze układałam układ równań, bardzo dziękuję