Lokomotywa

[RozbrajaczZadaniowy]

Koła lokomotywy parowej o promieniu \(R= 90 [cm]\) toczą się bez poślizgu po szynie. Koła pędne powiązane są ze sobą wiązarami, zaś punkt przymocowania wiązara do koła znajduje się w odległości \(d=35 [cm]\) od osi obrotu koła. Między dwoma chwilami \(t_1\) i \(t_2\) koła wykonały obrót o kąt \(\alpha=315 [^o]\), jak przedstawiono na rysunku. Ile wynosi wektor przemieszczenia \(r^ \to\) wiązara?

link do rysunku:
http://pokazywarka.pl/87w0na/

[Panko]

Jeżeli dobrze zrozumiałem to :

Weź równanie Cykloidy \(\begin{cases}x=Rt-c \sin t\\ y=R-c \cos t \end{cases}\) \(\\)dla \(c<R\)

Położenie poczatkowe punktu \(P= ( 0, R-d)\) , ustalamy \(c\)
dla t=0 jest \(\\) \(R-d=R-c \cos0\) \(\\)\(\So\)\(c=d\)


czyli \(\begin{cases}x=Rt-d \sin t\\ y=R-d \cos t \end{cases}\) \(\\)

Po czasie \(t_2-t_1=t-0\) promień wodzący tego punktu zakreśli kąt \(\alpha =315^ \circ = \frac{315}{360} 2 \pi =\)\(= \frac{7}{4} \pi\)

stąd jego położenie po tym czasie to \(P_t=( R* \frac{7}{4} \pi-d \sin \frac{7}{4} \pi ,R-d \cos \frac{7}{4} \pi )\)

Przemieszczenie wiązara \(\vec{r}= \vec{PP_t}\)
Tylko podstawić liczby.

[RozbrajaczZadaniowy]

Dopiero zaczynam fizykę, więc rozwiązanie powinno opierać się na podstawowych wiadomościach, na pewno da się to jakoś prościej wykonać. Może uda Ci się wymyślić coś bardziej podstawowego (opartego typowo na fizyce), a jeśli nie to zostaniemy przy tym.

[octahedron]

Wiązar obraca się wokół osi koła, a oś się porusza ruchem prostoliniowym:

\(\begin{cases}x(\alpha)=(\alpha+\alpha_0)R+d\cos(\alpha+\alpha_0)\\y(\alpha)=d\sin(\alpha+\alpha_0)\end{cases}\,\Rightarrow\vec{r}=\left[\alpha R-2d\sin\frac{2\alpha+\alpha_0}{2}\sin\frac{\alpha_0}{2},2d\cos\frac{2\alpha+\alpha_0}{2}\sin\frac{\alpha_0}{2}\right]\)

Z rysunku wynika, że koło wykonało pół obrotu, a w treści jest inaczej, więc nie wiem, ile właściwie wynosi kąt początkowy \(\alpha_0\)

[RozbrajaczZadaniowy]

Prawdopodobnie na rysunku jest źle zaznaczony ten obrót. Powinien być obrócony o \(315^o\)

[RozbrajaczZadaniowy]

Postarałem się o nowy rysunek, ten chyba jest poprawny.

http://pokazywarka.pl/g1sqbv/

[octahedron]

Czyli w takim razie \(\alpha_0=\frac{\pi}{2}\), tylko trzeba kąt mierzyć przeciwnie niż napisałem wyżej:

\(\begin{cases}x(\alpha)=(\alpha+\alpha_0)R+d\cos(\alpha+\alpha_0)\\y(\alpha)=-d\sin(\alpha+\alpha_0)\end{cases}\,\Rightarrow\vec{r}=\left[\alpha R-2d\sin\frac{2\alpha+\alpha_0}{2}\sin\frac{\alpha_0}{2},-2d\cos\frac{2\alpha+\alpha_0}{2}\sin\frac{\alpha_0}{2}\right]\)