okrąg wpisany w trójkąt prostokątny

ragekage · Post autor: **ragekage** » 08 lut 2010, 00:04

W trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości 12 cm wpisano okrąg o promieniu 2 cm. Oblicz pole i obwód tego trójkąta.

"Matura z Matematyki p. rozszerzony Testy Maturalne 2010" wyd. AKSJOMAT Toruń (zestaw XVI)

irena · Post autor: **irena** » 08 lut 2010, 08:50

a,b- przyprostokątne c=12 - przeciwprostokątna trójkąta, r=2- promień okręgu wpisanego
Z równości odcinków stycznych wynika, że: a=k+r=k+2, b=l+r=l+2, c=k+l

Obwód trójkąta:
\(Ob=a+b+c=k+2+l+2+k+l=2(k+l)+4=2\cdot12+4=28\)

Pole trójkąta:
\(P=\frac{1}{2}\cdot\ Ob\cdot\ r\\P=\frac{1}{2}\cdot28\cdot2=28\)

R33TSW · Post autor: **R33TSW** » 26 mar 2011, 13:44

A da sie to zadanie zrobić na inny sposób oprócz z równości odcinków stycznych? I co oznacza \(k\) i jaką ma wartość?

radagast · Post autor: **radagast** » 26 mar 2011, 14:58

można taż rozwiązać układ równań :
\(\begin{cases} P=12+a+b\\a^2+b^2=144\\P= \frac{ab}{2} \end{cases}\)
ale nie wiem czy to prościej. Tak samo łatwo...

wytłumaczenia może wymaga pierwsze:
pole trójkąta to suma pól trzech trójkątów : bok * promień okręgu wpisanego/2

R33TSW · Post autor: **R33TSW** » 26 mar 2011, 18:40

W równaniu b jest brane jako wysokość, a jako podstawa (lub na odwrót)?

radagast · Post autor: **radagast** » 27 mar 2011, 08:33

: ScreenHunter_058.jpg (8.88 KiB) Przejrzano 4905 razy

R33TSW · Post autor: **R33TSW** » 04 kwie 2011, 19:16

A jakie Ci boki wyszły, bo mnie:
\(a = \frac{12 \sqrt{21}}{5} \\ b = 4.8\)

radagast · Post autor: **radagast** » 04 kwie 2011, 19:27

mi wyszło inaczej: \(\begin{cases} a=8+2 \sqrt{2}\\b=8-2 \sqrt{2} \end{cases}\) lub odwrotnie