Pochodna w punkcie

[mes93]

Witam, proszę o pomoc.

\(F(x)= \frac{2}{ \sqrt{x^2+2} }\)

w punkcie \(x_0=2\)

Proszę o rozwiązanie z rozpisaniem gdyż chciałbym to przeanalizować i wiadomo coś z tego wiedzieć
Dziękuję

[denatlu]

Najprościej tak

\(F'(x)= -\frac{1}{2} \cdot 2\cdot 2x \cdot (x^2+1)^{-\frac{1}{2}-1}=- 2x \cdot (x^2+1)^{-\frac{3}{2}}\)
\(F'(x)=-\cdot 2x \cdot (x^2+1)^{-\frac{3}{2}}\)

\(F'(2)=-\cdot 2\cdot 2 \cdot (2^2+1)^{-\frac{3}{2}}=-4 \cdot \left( 5\right) ^{-\frac{3}{2}}= \frac{-4}{ \sqrt{125} }\)

[mes93]

A z definicji? Podejrzewam że to z Hospi....

Potrzebuje rozwiązanie z definicji.

[Panko]

\(f`(2)= \Lim_{h\to 0} \frac{ \frac{2}{ \sqrt{(h+2)^2+2} } -\frac{2}{ \sqrt{2^2+2} } }{h}\) =\(\Lim_{h\to 0} \frac{2}{h} *\frac{ \sqrt{6} - \sqrt{h^2+4h+6} }{ \sqrt{6}* \sqrt{h^2+4h+6} }\) =\(\Lim_{h\to 0} \frac{2}{h} *\frac{ \sqrt{6} - \sqrt{h^2+4h+6} }{ \sqrt{6}* \sqrt{h^2+4h+6} }*\frac{ \sqrt{6}+ \sqrt{h^2+4h+6} }{ \sqrt{6}+ \sqrt{h^2+4h+6} }\) =\(\Lim_{h\to 0} \frac{2}{h} * \frac{6-(h^2+4h+6 )}{( \sqrt{6}+ \sqrt{h^2+4h+6} ) * \sqrt{6}* \sqrt{h^2+4h+6} }\) =\(\Lim_{h\to 0} \frac{2}{h} *\frac{-h(h+4)}{ ( \sqrt{6}+ \sqrt{h^2+4h+6} ) * \sqrt{6}* \sqrt{h^2+4h+6} }\)=\(\Lim_{h\to 0}\frac{-2(h+4 )}{ ( \sqrt{6}+ \sqrt{h^2+4h+6} ) * \sqrt{6}* \sqrt{h^2+4h+6} }\)=\(\frac{-2(0+4)}{ \sqrt{6}* \sqrt{6} *( \sqrt{6}+ \sqrt{6} ) }\)=\(-\frac{2}{3}*\frac{1}{ \sqrt{6} }\)