Znaleźć wzajemne położenie prostej
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Znaleźć wzajemne położenie prostej
Znaleść wzajemne polozenie prostej L: \(\begin{cases}x=1+2t\\ y=-at\\ z=2 \end{cases}\) i płaszczyzny \(\pi: x+2y-z= 1\)
Prosta l przechodzi przez punkt P(1,0,2). Jej wektor kierunkowy to wektor [2, -a, 0]. Punkt P nie leży na płaszczyźnie \(\pi\), więc prosta l nie zawiera się w tej płaszczyźnie. Wektor [1, 2, -1] to wektor prostopadły do płaszczyzny \(\pi\).
\(\alpha\)- kąt prostej l z tą płaszczyzną.
\(sin\alpha=\frac{|2\cdot1+(-a)\cdot2+0\cdot(-1)|}{\sqrt{2^2+(-a)^2+0^2}\cdot\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}}\\sin\alpha=\frac{|2-2a|}{\sqrt{6(a^2+4)}}\)
\(sin\alpha=0 \Leftrightarrow |2-2a|=0 \Leftrightarrow a=1\)
Jeśli a=1, to prosta jest równoległa do płaszczyzny.
\(sin\alpha=1 \Leftrightarrow |2-2a|=\sqrt{6(a^2+4)} \Leftrightarrow 4-8a+4a^2=6a^2+24\\ \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 2a^2+8a+20=0\\\Delta<0\)
Prosta l nie jest prostopadła do płaszczyzny.
\(\alpha\)- kąt prostej l z tą płaszczyzną.
\(sin\alpha=\frac{|2\cdot1+(-a)\cdot2+0\cdot(-1)|}{\sqrt{2^2+(-a)^2+0^2}\cdot\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}}\\sin\alpha=\frac{|2-2a|}{\sqrt{6(a^2+4)}}\)
\(sin\alpha=0 \Leftrightarrow |2-2a|=0 \Leftrightarrow a=1\)
Jeśli a=1, to prosta jest równoległa do płaszczyzny.
\(sin\alpha=1 \Leftrightarrow |2-2a|=\sqrt{6(a^2+4)} \Leftrightarrow 4-8a+4a^2=6a^2+24\\ \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 2a^2+8a+20=0\\\Delta<0\)
Prosta l nie jest prostopadła do płaszczyzny.
Ostatnio zmieniony 07 lut 2010, 15:52 przez irena, łącznie zmieniany 1 raz.
Prosta jest prostopadła do płaszczyzny Ax+By+Cz+D=0, jeśli jej wektor kierunkowy jest równoległy do wektora [A,B,C].
Na przykład prosta prostopadła do płaszczyzny \(\pi:\ x+2y-z=1\) i przechodząca przez punkt (1,1,1) to prosta określona w postaci parametrycznej;
\(l: \begin{cases}x=1+t\\y=1+2t\\z=1-t \end{cases}\).
Żeby znaleźć punkt wspólny tej prostej z płaszczyzną daną, wystarczy do równania płaszczyzny podstawić te dane z równania prostej:
\(1+t+2(1+2t)-(1-t)=1\\t=-\frac{1}{6}\)
Podstawić to do równania prostej:
\(\begin{cases}x=1+-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\\y=1+2\cdot(-\frac{1}{6})=\frac{2}{3}\\z=1-(-\frac{1}{6})=\frac{7}{6}\end{cases}\)
\(P=(\frac{5}{6},\ \frac{2}{3},\ \frac{7}{6})\)
Nie wiem, czy o to Ci chodzi.
Na przykład prosta prostopadła do płaszczyzny \(\pi:\ x+2y-z=1\) i przechodząca przez punkt (1,1,1) to prosta określona w postaci parametrycznej;
\(l: \begin{cases}x=1+t\\y=1+2t\\z=1-t \end{cases}\).
Żeby znaleźć punkt wspólny tej prostej z płaszczyzną daną, wystarczy do równania płaszczyzny podstawić te dane z równania prostej:
\(1+t+2(1+2t)-(1-t)=1\\t=-\frac{1}{6}\)
Podstawić to do równania prostej:
\(\begin{cases}x=1+-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\\y=1+2\cdot(-\frac{1}{6})=\frac{2}{3}\\z=1-(-\frac{1}{6})=\frac{7}{6}\end{cases}\)
\(P=(\frac{5}{6},\ \frac{2}{3},\ \frac{7}{6})\)
Nie wiem, czy o to Ci chodzi.
Wektor [A,B,C] to wektor prostopadły do płaszczyzny Ax+By+Cz+D=0. wektor [a,b,c] to wektor kierunkowy prostej
\(l: \begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct \end{cases}\)
Dlatego sinus kąta prostej z płaszczyzną liczy się tak, jakby obliczało się cosinus kąta między wektorem kierunkowym prostej i wektorem prostopadłym do płaszczyzny.
\(l: \begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct \end{cases}\)
Dlatego sinus kąta prostej z płaszczyzną liczy się tak, jakby obliczało się cosinus kąta między wektorem kierunkowym prostej i wektorem prostopadłym do płaszczyzny.