W trójkącie ostrokątnym ABC poprowadzono z wierzchołka C wysokość CD. Udowodnij, że jeżeli |AC|-|AB|=|AB|-|BC|=r, to:
|AC|^2-|BC|^2=4r*|AB|
|AD|-|BD|=4r
trójkąt ostrokątny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
|BC|=a
|AB|=a+r
|AC|=a+2r
\(|AC|^2-|BC|^2=(a+2r)^2-a^2=a^2+4ar+4r^2-a^2=4ar+4r^4=4r(a+r)=4r\cdot|AB|\)
\(|AC|^2=|AD|^2+|CD|^2 \Rightarrow |CD|^2=|AC|^2-|AD|^2\\|AC|^2=|CD|^2+|BD|^2 \Rightarrow |CD|^2=|BC|^2-|BD|^2\\|AC|^2-|AD|^2=|BC|^2-|BD|^2\\|AD|^2-|BD|^2=|AC|^2-|BC|^2\\(|AD|+|BD|)(|AD|-|BD|)=(a+2r)^2-a^2\\(|AD|-|BD|)\cdot|AB|=a^2+4ar+4r^2-a^2\\(|AD|-|BD|)\cdot(a+r)=4ar+4r^2\\(|AD|-|BD|)\cdot(a+r)=4r(a+r)\ /:(a+r)\\|AD|-|BD|=4r\)
W treści zadania chyba źle zapisałeś - to chyba powinna być różnica: \(|AC|^2-|BC|^2\)
|AB|=a+r
|AC|=a+2r
\(|AC|^2-|BC|^2=(a+2r)^2-a^2=a^2+4ar+4r^2-a^2=4ar+4r^4=4r(a+r)=4r\cdot|AB|\)
\(|AC|^2=|AD|^2+|CD|^2 \Rightarrow |CD|^2=|AC|^2-|AD|^2\\|AC|^2=|CD|^2+|BD|^2 \Rightarrow |CD|^2=|BC|^2-|BD|^2\\|AC|^2-|AD|^2=|BC|^2-|BD|^2\\|AD|^2-|BD|^2=|AC|^2-|BC|^2\\(|AD|+|BD|)(|AD|-|BD|)=(a+2r)^2-a^2\\(|AD|-|BD|)\cdot|AB|=a^2+4ar+4r^2-a^2\\(|AD|-|BD|)\cdot(a+r)=4ar+4r^2\\(|AD|-|BD|)\cdot(a+r)=4r(a+r)\ /:(a+r)\\|AD|-|BD|=4r\)
W treści zadania chyba źle zapisałeś - to chyba powinna być różnica: \(|AC|^2-|BC|^2\)