Cześć mam problem z zadaniem: wyznacz dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji \(f(x) = 4arccos \sqrt{1 - \frac{1}{|x+1|} }\)
Dziedzina to chyba spoko, założenie na mianownik, na pierwiastek oraz że pierwiastek ma nalezeć do przedziału -1 i 1.
A co z przeciwdziedziną?
Dziedzina i przeciwdziedzina funkcji cyklometrycznej
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Panko
- Fachowiec
- Posty: 2946
- Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
- Lokalizacja: Radom
- Otrzymane podziękowania: 1556 razy
- Płeć:
Re: Dziedzina i przeciwdziedzina funkcji cyklometrycznej
rachunki przeprowadzę dla funkcji \(y=f(x)=arc \cos\sqrt{1-\frac{1}{|x+1|}}\)
Dziedzina :
\(D_f\): \(\sqrt{1-\frac{1}{|x+1|}} \in [0,1]\)
\(D_f :\)\(|x+1| \ge 1\)
jeżeli \(y\) jest wartością funkcji to \(y= arc \cos \sqrt{1-\frac{1}{|x+1|}}\)
\(\cos y= \sqrt{1-\frac{1}{|x+1|}}\)
\(\cos y \ge 0 \wedge \cos ^2y=1-\frac{1}{|x+1|}\)
\(\cos y \ge 0 \wedge |x+1| =\frac{1}{1- \cos ^2y}\)
\(\cos y \ge 0 \wedge \frac{1}{1- \cos ^2y} \ge 1\)
\(\cos y \ge 0 \wedge \cos ^2y( 1- \cos ^2y) \ge 0\)\(\\)\(\wedge \cos ^2y \neq 1\)
\(\cos y \ge 0 \wedge \cos y \in (-1,1)\)
\(\cos y \in [0,1)\)
Stąd \(Y=( arc \cos 1, \frac{ \pi }{2} ]\) i to jest ta przeciwdziedzina
Dziedzina :
\(D_f\): \(\sqrt{1-\frac{1}{|x+1|}} \in [0,1]\)
\(D_f :\)\(|x+1| \ge 1\)
jeżeli \(y\) jest wartością funkcji to \(y= arc \cos \sqrt{1-\frac{1}{|x+1|}}\)
\(\cos y= \sqrt{1-\frac{1}{|x+1|}}\)
\(\cos y \ge 0 \wedge \cos ^2y=1-\frac{1}{|x+1|}\)
\(\cos y \ge 0 \wedge |x+1| =\frac{1}{1- \cos ^2y}\)
\(\cos y \ge 0 \wedge \frac{1}{1- \cos ^2y} \ge 1\)
\(\cos y \ge 0 \wedge \cos ^2y( 1- \cos ^2y) \ge 0\)\(\\)\(\wedge \cos ^2y \neq 1\)
\(\cos y \ge 0 \wedge \cos y \in (-1,1)\)
\(\cos y \in [0,1)\)
Stąd \(Y=( arc \cos 1, \frac{ \pi }{2} ]\) i to jest ta przeciwdziedzina