Zadanie pochodzi z podręcznika do II klasy (Kurczab, Świda) :\(| \angle AOB|=80^ \circ\) oraz \(| \angle DCA|=70^ \circ\), oblicz pole czworokąta ABCD.
w odpowiedziach jest \(15 \sqrt{3}cm^2\)
Punkty A,B,C,D należą do okręgu o środku O, jak na rysunku powyżej.Odcinek AC jest średnicą okręgu i ma długość 10 cm, natomiast cięciwa BD ma długość 6 cm.Wiedząc, że pole czworokąta
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Kąt ADB to kąt wpisany oparty na tym samym łuku, co kąt środkowy AOB, czyli
\(|\angle ADB|=40^0\)
Kąt ADC jest prosty, więc
\(|\angle BDC|=90^0-40^0=50^0\)
P- punkt przecięcia przekątnych AC i BD
W trójkącie CDP:
\(|\angle CPD|=180^0-(70^0+50^0)=60^0\)
\(P=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot|BD|\cdot sin60^0=\frac{1}{2}\cdot10\cdot6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}cm^2\)
Jeśli e, f- długości przekątnych czworokąta wypukłego i \(\alpha\) - kąt między nimi, to pole tego czworokąta:
\(P=\frac{1}{2}ef sin\alpha\)
\(|\angle ADB|=40^0\)
Kąt ADC jest prosty, więc
\(|\angle BDC|=90^0-40^0=50^0\)
P- punkt przecięcia przekątnych AC i BD
W trójkącie CDP:
\(|\angle CPD|=180^0-(70^0+50^0)=60^0\)
\(P=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot|BD|\cdot sin60^0=\frac{1}{2}\cdot10\cdot6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}cm^2\)
Jeśli e, f- długości przekątnych czworokąta wypukłego i \(\alpha\) - kąt między nimi, to pole tego czworokąta:
\(P=\frac{1}{2}ef sin\alpha\)
-
- Guru
- Posty: 17550
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Dziękuję za odpowiedź, a teraz podzielę się moimi wątpliwościami na temat tego zadanie:
\(| \angle DAB|=20^ \circ +50^ \circ=70^ \circ\)
\(| \angle DBA|=40^ \circ -20^ \circ +50^ \circ=70^ \circ\)
No to trójkąt ABD jest równoramienny, czyli \(|AD|=|BD|=6 cm\)
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ACD mamy \(|DC|= \sqrt{10^2-6^2} =8cm\)
Widzicie sprzeczność ? (coś z tymi danymi jest nie tak, chodzi mi o to ,że przecież DC nie może być dłuższe niż 6 cm )
\(| \angle DAB|=20^ \circ +50^ \circ=70^ \circ\)
\(| \angle DBA|=40^ \circ -20^ \circ +50^ \circ=70^ \circ\)
No to trójkąt ABD jest równoramienny, czyli \(|AD|=|BD|=6 cm\)
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ACD mamy \(|DC|= \sqrt{10^2-6^2} =8cm\)
Widzicie sprzeczność ? (coś z tymi danymi jest nie tak, chodzi mi o to ,że przecież DC nie może być dłuższe niż 6 cm )
No dobra ale mam pytanie jeśli zrobić to zadanie korzystając z trójkątów to mamy
w trójkącie ABO
1/2⋅|AO|⋅|OB|⋅sin80∘czyli 12,31
i analogicznie trójkąt BOC
dalej trójkąt COD jest równoramienny więc kąt COD ma 40∘ czyli znów 1/2 |DO|⋅|OC|⋅sin40∘czyli 8,03 i analogicznie AOD
w sumie 2*12,31+2*8,03=40,68
gdzie popełniam błąd bo 15√3 to około 25,5
w trójkącie ABO
1/2⋅|AO|⋅|OB|⋅sin80∘czyli 12,31
i analogicznie trójkąt BOC
dalej trójkąt COD jest równoramienny więc kąt COD ma 40∘ czyli znów 1/2 |DO|⋅|OC|⋅sin40∘czyli 8,03 i analogicznie AOD
w sumie 2*12,31+2*8,03=40,68
gdzie popełniam błąd bo 15√3 to około 25,5
-
- Witam na forum
- Posty: 9
- Rejestracja: 09 maja 2010, 18:49
- Podziękowania: 5 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
Re: pole czworokąta
Trafiłam dziś na to zadanie i wychodzi mi z kątów, że trójkąt ADB jest równoramienny jednak, no i wtedy DC= 8 i mam ten sam problem... Czy doszliście może, co tu jest nie tak?
-
- Guru
- Posty: 17550
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Rzeczywiście ! Za łatwo uległam autorytetowi Ireny. To zadanie ma błędne dane.
Istotnie , na podstawie analizy kątów można pokazać , że trójkąt ABD jest równoramienny, a wówczas trójkąt ACD jest trójkątem pitagorejskim i jako taki ma bok DC =8, a to nie jest możliwe, bo 8>6. Błędne dane !
dzięki Iska
Istotnie , na podstawie analizy kątów można pokazać , że trójkąt ABD jest równoramienny, a wówczas trójkąt ACD jest trójkątem pitagorejskim i jako taki ma bok DC =8, a to nie jest możliwe, bo 8>6. Błędne dane !
dzięki Iska